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2015年湖南高考数学提分专练:导数的简单应用

中华考试网  2015-05-25  【

  一、选择题

  1.下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象,其中一定错误的是(  )

  答案:C 命题立意:本题考查导数在研究函数单调性上的应用,难度中等.

  解题思路:依次判断各个选项,易知选项C中两图象在第一象限部分,不论哪一个作为导函数的图象,其值均为正值,故相应函数应为增函数,但相反另一函数图象不符合单调性,即C选项一定不正确.

  2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+ln x,则f′(e)=(  )

  A.1    B.-1   C.-e-1  D.-e

  答案:C 命题立意:本题考查函数的导数的求法与赋值法,难度中等.

  解题思路:依题意得,f′(x)=2f′(e)+,取x=e得f′(e)=2f′(e)+,由此解得f′(e)=-=-e-1,故选C.

  3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f′(x)的图象可能是(  )

  A      B      C      D

  答案:A 命题立意:本题考查函数的性质,难度较小.

  解题思路:函数f(x)的图象自左向右看,在y轴左侧,依次是增、减、增;在(0,+∞)上是减函数.因此,f′(x)的值在y轴左侧,依次是正、负、正,在(0,+∞)上的取值恒非正,故选A.

  4.已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数,且f(x)=f(5-x),f′(x)<0.若x1

  A.f(x1)f(x2)

  C.f(x1)+f(x2)<0 D.f(x1)+f(x2)>0

  答案:B 命题立意:本题主要考查函数的性质,意在考查考生的逻辑思维能力.

  解题思路:依题意得,当x<时,f′(x)<0,则函数f(x)在上是减函数.当x1f(x2);若x2≥,则由x1+x2<5得x1<5-x2≤,此时有f(x1)>f(5-x2)=f(x2).综上所述,f(x1)>f(x2),故选B.

  5.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于(  )

  A.0 B.-4 C.-2 D.2

  答案:B 解题思路:本题考查导数知识的运用.由题意f′(x)=2x+2f′(1), f′(1)=2+2f′(1),即f′(1)=-2,

  f′(x)=2x-4, f′(0)=-4.

  技巧点拨:解决本题的关键是利用导数求出f′(1)的值.

  6.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3-4x,且f(x)的图象过点(0,-5),当函数f(x)取得极大值-5时,x的值应为(  )

  A.-1 B.0 C.1 D.±1

  答案:B 解题思路:可以求出f(x)=x4-2x2+c,其中c为常数.由于f(x)过(0,-5),所以c=-5,又由f′(x)=0,得极值点为x=0和x=±1.又x=0时,f(x)=-5,故x的值为0.

  7.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x(aR),若函数f(x)的图象上点P(1,m)处的切线方程为3x-y+b=0,则m的值为(  )

  A.- B.- C. D.

  答案:A 命题立意:本题主要考查导数的几何意义及切线方程的求法.求解时,先对函数f(x)求导,令x=1求出点P(1,m)处切线的斜率,进而求出a的值,再根据点P在函数f(x)的图象上即可求出m的值.

  解题思路: f(x)=x3-2ax2-3x, f′(x)=2x2-4ax-3, 过点P(1,m)的切线斜率为k=f′(1)=-1-4a.又点P(1,m)处的切线方程为3x-y+b=0,

  -1-4a=3, a=-1, f(x)=x3+2x2-3x.

  又点P在函数f(x)的图象上, m=-.

  8.已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且当x>0,f(x)+xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数).设a=(log4)f(log4),b=f(),c=·f,则a,b,c的大小关系是(  )

  A.c>a>b B.c>b>a

  C.a>b>c D.a>c>b

  答案:C 思路点拨:令函数F(x)=xf(x),则函数F(x)=xf(x)为偶函数.当x>0时,F′(x)=f(x)+xf′(x)>0,此时函数F(x)在(0,+∞)上单调递增,则a=F(log4)=F(-log24)=F(-2)=F(2),b=F(),c=F=F(-lg 5)=F(lg 5),因为0b>c,故选C.

  9.在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是(  )

  A. B.

  C.e+ D.e-

  答案:A 解题思路:二、填空题

  10.已知函数f(x)=ex-ae-x,若f′(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是________.

  答案:[3,+∞) 命题立意:本题考查导数的运算及不等式恒成立一类问题的解答方法,正确地分离变量是解答本题的关键,难度中等.

  解题思路:据题意有f′(x)=ex+ae-x≥2,分离变量得a≥(2-ex)ex=-(ex-)2+3,由于(2-ex)ex=-(ex-)2+3≤3,故若使不等式恒成立,只需a≥3即可.

  11.已知aR,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为________.

  答案:3x+y=0 命题立意:本题主要考查导数的求法、奇偶性的定义、导数的几何意义与直线的方程等基础知识,意在考查考生的基本运算能力.

  解题思路:依题意得,f′(x)=3x2+2ax+(a-3)是偶函数,则2a=0,即a=0,f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3,因此曲线y=f(x)在原点处的切线方程是y=-3x,即3x+y=0.

  12.已知函数f(x)=axsin x-(aR),若对x,f(x)的最大值为,则

  (1)a的值为________;

  (2)函数f(x)在(0,π)内的零点个数为________.

  答案:(1)1 (2)2 命题立意:本题考查导数的应用以及函数零点,难度中等.

  解题思路:利用导数确定函数单调性,再利用数形结合求零点个数.因为f′(x)=a(sin x+xcos x),当a≤0时,f(x)在x上单调递减,最大值f(0)=-,不适合题意,所以a>0,此时f(x)在x上单调递增,最大值f=a-=,解得a=1,符合题意,故a=1.f(x)=xsin x-在x(0,π)上的零点个数即为函数y=sin x,y=的图象在x(0,π)上的交点个数,又x=时,sin =1>>0,所以两图象在x(0,π)内有2个交点,即f(x)=xsin x-在x(0,π)上的零点个数是2.

  13.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(nN*)在函数y=x3+x的导函数的图象上.数列{bn}满足bn=(nN*).则数列{bn}的前n项和Sn为________.

  答案: 命题立意:本题主要考查多项式函数的求导方法,等差数列的概念、通项公式以及数列求和方法等基础知识,考查学生的运算能力和综合运用知识分析、解决问题的能力.

  解题思路:由已知得an+1=an+1, 数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列, an=n,bn===-(nN*),Sn=1-+-+…+-=1-=(nN*).

  B组

  一、选择题

  1.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,-1),则x0的值为(  )

  A. B.1 C.e D.10

  答案:B 命题立意:本题主要考查导数的几何意义、直线的方程等基础知识,意在考查考生的基本运算能力.

  解题思路:依题意得,题中的切线方程是y-ln x0=(x-x0);又该切线经过点(0,-1),于是有-1-ln x0=(-x0),由此得ln x0=0,x0=1,故选B.

  2.已知函数f(x)=+1,g(x)=aln x,若在x=处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行,则实数a的值为(  )

  A. B.

  C.1 D.4

  答案:A 命题立意:本题主要考查导数的概念与曲线切线的求解,考查思维的严谨性,应注意检验.

  解题思路:由题意可知f′(x)=x,g′(x)=,由f′=g′,得=,可得a=,经检验,a=满足题意.

  3.若函数f(x)=-x2+bln(x+2)在[-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是(  )

  A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)

  C.(-∞,-1] D.(-∞,-1)

  答案:C 解题思路:函数f(x)的导数f′(x)=-x+,要使函数f(x)在[-1,+∞)上是减函数,则f′(x)=-x+≤0在[-1,+∞)上恒成立,即≤x在[-1,+∞)上恒成立,因为x≥-1,所以x+2≥1>0,即b≤x(x+2)在[-1,+∞)上恒成立.设y=x(x+2),则y=x2+2x=(x+1)2-1,因为x≥-1,所以y≥-1,所以要使b≤x(x+2)在[-1,+∞)上恒成立,则有b≤-1,故选C.

  4.如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,函数g(x)=ex-f′(x)的零点所在的区间是(k,k+1)(kZ),则k的值为(  )

  A.-1或0 B.0

  C.-1或1 D.0或1

  答案:C 解题思路:由二次函数f(x)的图象及函数f(x)两个零点的位置可知其对称轴x=-,解得10,g(0)=1-a<0,g(1)=e-2-a<0,g(2)=e2-4-a>0,函数g(x)的两个零点x1(-1,0)和x2(1,2),故k=-1或1.

  5.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有(  )

  A.1个 B.2个

  C.3个 D.4个

  答案:B 命题立意:本题主要考查函数的导数与极值间的关系,意在考查考生的推理能力.

  解题思路:依题意,记函数y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1,x2,x3,x4,当a0;当x1

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