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2015年湖南高考数学提分专练:函数、函数与方程

中华考试网  2015-05-25  【

  一、选择题

  1.已知函数f(x)=2x3-x2+m的图象上A点处的切线与直线x-y+3=0的夹角为45°,则A点的横坐标为(  )

  A.0     B.1     C.0或  D.1或

  答案:C 命题立意:本题考查导数的应用,难度中等.

  解题思路:直线x-y+3=0的倾斜角为45°,

  切线的倾斜角为0°或90°,由f′(x)=6x2-x=0可得x=0或x=,故选C.

  易错点拨:常见函数的切线的斜率都是存在的,所以倾斜角不会是90°.

  2.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是(  )

  A.[-1,2] B.[0,2]

  C.[1,+∞) D.[0,+∞)

  答案:D 命题立意:本题考查分段函数的相关知识,求解时可分为x≤1和x>1两种情况进行求解,再对所求结果求并集即得最终结果.

  解题思路:若x≤1,则21-x≤2,解得0≤x≤1;若x>1,则1-log2 x≤2,解得x>1,综上可知,x≥0.故选D.

  3.函数y=x-2sin x,x的大致图象是(  )

  答案:D 解析思路:因为函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,B.函数的导数为f′(x)=1-2cos x,由f′(x)=1-2cos x=0,得cos x=,所以x=.当00,函数单调递增,所以当x=时,函数取得极小值.故选D.

  4.已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)=2x;当x<4时,f(x)=f(x+1),则f=(  )

  A.    B.    C.12     D.24

  答案:D 命题立意:本题考查指数式的运算,难度中等.

  解题思路:利用指数式的运算法则求解.因为2+log =2+log2 3(3,4),所以f=f=f(3+log2 3)=23+log2 3=8×3=24.

  5.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰好有5个不同的实数解,则a的取值范围是(  )

  A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,3)

  答案:

  A 解题思路:设t=f(x),则方程为t2-at=0,解得t=0或t=a,

  即f(x)=0或f(x)=a.

  如图,作出函数的图象,

  由函数图象可知,f(x)=0的解有两个,

  故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的解,则方程f(x)=a的解必有三个,此时0

  6.若R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0

  A.4 020 B.4 022 C.4 024 D.4 026

  答案:B 命题立意:本题考查函数性质的应用及数形结合思想,考查推理与转化能力,难度中等.

  解题思路:由于函数图象关于直线x=1对称,故有f(-x)=f(2+x),又函数为奇函数,故-f(x)=f(2+x),从而得-f(x+2)=f(x+4)=f(x),即函数以4为周期,据题意其在一个周期内的图象如图所示.

  又函数为定义在R上的奇函数,故f(0)=0,因此f(x)=+f(0)=,因此在区间(2 010,2 012)内的函数图象可由区间(-2,0)内的图象向右平移2 012个单位得到,此时两根关于直线x=2 011对称,故x1+x2=4 022.

  7.已知函数满足f(x)=2f,当x[1,3]时,f(x)=ln x,若在区间内,函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点,则实数a的取值范围是(  )

  A. B.

  C. D.

  答案:A 思路点拨:当x∈时,则1<≤3,

  f(x)=2f=2ln=-2ln x.

  f(x)=

  g(x)=f(x)-ax在区间内有三个不同零点,即函数y=与y=a的图象在上有三个不同的交点.

  当x∈时,y=-,

  y′=<0,

  y=-在上递减,

  y∈(0,6ln 3).

  当x[1,3]时,y=,

  y′=,

  y=在[1,e]上递增,在[e,3]上递减.

  结合图象,所以y=与y=a的图象有三个交点时,a的取值范围为.

  8.若函数f(x)=loga有最小值,则实数a的取值范围是(  )

  A.(0,1) B.(0,1)(1,)

  C.(1,) D.[,+∞)

  答案:C 解题思路:设t=x2-ax+,由二次函数的性质可知,t有最小值t=-a×+=-,根据题意,f(x)有最小值,故必有解得1

  9.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为(  )

  A. B.

  C. D.

  答案:

  C 命题立意:本题考查函数与方程以及数形结合思想的应用,难度中等.

  解题思路:由g(x)=f(x)-m=0得f(x)=m,作出函数y=f(x)的图象,当x>0时,f(x)=x2-x=2-≥-,所以要使函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,只需直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个交点即可,如图.只需-

  10.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,bR,a*b为唯一确定的实数,且具有性质:

  (1)对任意a,bR,a*b=b*a;

  (2)对任意aR,a*0=a;

  (3)对任意a,bR,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.

  关于函数f(x)=(3x)*的性质,有如下说法:函数f(x)的最小值为3;函数f(x)为奇函数;函数f(x)的单调递增区间为,.其中所有正确说法的个数为(  )

  A.0 B.1 C.2 D.3

  答案:B 解题思路:f(x)=f(x)*0=*0=0]3x×+[(3x)*0]+)-2×0=3x×+3x+=3x++1.

  当x=-1时,f(x)<0,故错误;因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x),所以错误;令f′(x)=3->0,得x>或x<-,因此函数f(x)的单调递增区间为,,即正确.

  二、填空题

  11.已知f(x)=若f[f(0)]=4a,则实数a=________.

  答案:2 命题立意:本题考查了分段函数及复合函数的相关知识,对复合函数求解时,要从内到外逐步运算求解.

  解题思路:因为f(0)=2,f(2)=4+2a,所以4+2a=4a,解得a=2.

  12.设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有2xf′(2x)+f(2x)<0且f(-2)=0,则不等式xf(2x)<0的解集为________.

  答案:(-1,0)(0,1) 命题立意:本题考查函数的奇偶性与单调性的应用,难度中等.

  解题思路:[xf(2x)]′=2xf′(2x)+f(2x)<0,故函数F(x)=xf(2x)在区间(-∞,0)上为减函数,又由f(x)为奇函数可得F(x)=xf(2x)为偶函数,且F(-1)=F(1)=0,故xf(2x)<0F(x)<0,当x<0时,由单调性可得不等式的解集为(-1,0);同理可得当x>0时,不等式解集为(0,1),故原不等式解集为(-1,0)(0,1).

  13.函数f(x)=|x-1|+2cos πx(-2≤x≤4)的所有零点之和为________.

  答案:6 命题立意:本题考查数形结合及函数与方程思想的应用,充分利用已知函数的对称性是解答本题的关键,难度中等.

  解题思路:由于函数f(x)=|x-1|+2cos πx的零点等价于函数g(x)=-|x-1|,h(x)=2cos πx的图象在区间[-2,4]内交点的横坐标.由于两函数图象均关于直线x=1对称,且函数h(x)=2cos πx的周期为2,结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线x=1对称,故其在三个周期[-2,4]内所有零点之和为3×2=6.

  14.已知函数f(x)=ln ,若f(a)+f(b)=0,且0

  答案: 命题立意:本题主要考查对数函数的运算,函数的值域,考查运算求解能力,难度中等.

  解题思路:由题意可知,ln +ln =0,

  即ln=0,从而×=1,

  化简得a+b=1,

  故ab=a(1-a)=-a2+a=-2+,

  又0

  故0<-2+<.

  B组

  一、选择题

  1.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递减,则满足不等式f(2x-1)>f成立的x取值范围是(  )

  A. B.

  C. D.

  答案:B 解析思路:因为偶函数的图象关于y轴对称,在区间[0,+∞)单调递减,所以f(x)在(-∞,0]上单调递增,若f(2x-1)>f,则-<2x-1<,

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