12.已知函数f(x)=ln x-px+1.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)若对任意的x>0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围;
(3)证明：++…+<(nN，n≥2).
解析：(1)由已知f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=-p=， x>0，当p≤0时，f′(x)>0， f(x)在(0，+∞)上单调递增，
f(x)无极值点;
当p>0时，令f′(x)=0， x=(0，+∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x f′(x) + 0 - f(x) 增 极大 减 从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一的极大值点x=.
(2)当p≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以不可能对任意的x>0，恒有f(x)≤0，
当p>0时，由(1)知在x=处取得极大值f=ln ，此时极大值也是最大值.要使f(x)≤0恒成立，只需f=ln ≤0，解得p≥1，所以p的取值范围是[1，+∞).
(3)证明：令p=1，由(2)知ln x-x+1≤0，
ln x≤x-1，
n∈N，n≥2， 令x=n2，则ln n2≤n2-1，
≤=1-，
++…+
≤×
=×
<-×
=--+-+…+-×
=-×
=，
所以结论成立.
