20.(本小题满分12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M在椭圆上，且满足MF2x轴，|MF1|=.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求ABO(O为坐标原点)面积的最大值.
解] (1)由已知得=，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2，
得椭圆方程为+=1，因为点M在第一象限且MF2x轴，
可得M的坐标为，由|MF1|==，解得c=1，
所以椭圆的方程为+=1.4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y=kx+2代入椭圆，可得(3k2+2)x2+12kx+6=0，
由Δ>0，即144k2-24(3k2+2)>0，
可得3k2-2>0，
则有x1+x2=-，x1x2=，
所以|x1-x2|=.8分
因为直线y=kx+2与y轴交点的坐标为(0,2)，
所以OAB的面积S=×2×|x1-x2|==.
令3k2-2=t，由知t(0，+∞)，
可得S==2=2≤，
所以t=4时，面积最大为.12分
21.(本小题满分12分)已知f(x)=+nln x(m，n为常数)在x=1处的切线为x+y-2=0.
(1)求y=f(x)的单调区间;
(2)若任意实数x，使得对任意的t上恒有f(x)≥t3-t2-2at+2成立，求实数a的取值范围.
解] (1)f(x)=+nln x的定义域为(0，+∞)，
f′(x)=-+， f′(1)=-+n=-1，
把x=1代入x+y-2=0可得y=1，f(1)==1，
m=2，n=-， f(x)=-ln x，f′(x)=--.
x>0，f′(x)<0，f(x)的递减区间是(0，+∞)，无递增区间.4分
(2)由(1)可知，f(x)在上单调递减，
f(x)在上的最小值为f(1)=1，
只需t3-t2-2at+2≤1，即2a≥t2-t+对任意的t恒成立.6分
令g(t)=t2-t+，则g′(t)=2t-1-=.
t∈，2t3-t2-1=(t-1)(2t2+t+1)，
在t上g(t)单调递减，在1,2]上g(t)单调递增.10分
又g=，g(2)=，g(t)在上的最大值是，
只需2a≥，即a≥，实数a的取值范围是.12分
请考生在第22～2题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
2.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cos θ，直线l的参数方程为(t为参数)，两曲线相交于M，N两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若P(-2，-4)，求|PM|+|PN|的值.
解] (1)根据x=ρcos θ，y=ρsin θ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，2分
用代入法消去参数求得直线l的普通方程为x-y-2=0.5分
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，
代入y2=4x，得到t2-12t+48=0，6分
设M，N对应的参数分别为t1，t2，8分
则 t1+t2=12，t1·t2=48，
|PM|+|PN|=|t1+t2|=12.10分
2.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1)，且f(x)的最小值为3.
(1)求a的值;
(2)若f(x)≤5，求满足条件的x的集合.
解] (1)函数f(x)=|x-4|+|x-a|表示数轴上的x对应点到4，a对应点的距离之和，它的最小值为|a-4|=3，4分
再结合a>1，可得a=7.5分
(2)f(x)=|x-4|+|x-7|=6分
故由f(x)≤5可得
或 或8分
解求得3≤x<4，解求得4≤x≤7，解求得7
综上，不等式的解集为3,8].10分
