2017年宁夏高考数学基础提升练习（五）_第2页

参考答案

1．C　[解析] 由a₅＝a₁＋4d＝8，S₃＝3a₁＋2(3×2)d＝6，解得a₁＝0，d＝2，所以a₉＝0＋8×2＝16.

2．C　[解析] 设数列{a_n}的公比为q.易知a₅是a₂和a₈的等比中项，因此a5(2)＝a₂a₈＝1×64＝64.又由于a2(a5)＝q³，所以a₅与a₂的符号可能相同，也可能不相同，因此a₅＝±8.

3．C　[解析] 由a₃＋a₄－a₅＋a₆＝8，得a₃＋a₅＝8，所以a₁＋a₇＝8，所以S₇＝2(7×（a1＋a7）)＝28.

4．B　[解析] 在等差数列{a_n}中，因为a₁＋a₇＋a₁₃＝π，所以a₇＝3(π)，所以a₂＋a₁₂＝3(2π)，所以tan(a₂＋a₁₂)＝－.

5．2　[解析] 由已知可得2(a_nq²－a_n)＝3a_nq，即2q²－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－2(1).又a_n＋1＞a_n，所以q＝2.

6．B　[解析] 由a₂＋a₄＋a₉＝24，得3a₁＋12d＝24，即a₁＋4d＝8，即a₅＝8，所以S₉＝2(a1＋a9)×9＝9a₅＝72.

7．D　[解析] 由S_n＋2－S_n＝36，得a_n＋2＋a_n＋1＝36，即a₁＋(n＋1)d＋a₁＋nd＝36.又a₁＝1，d＝2，所以n＝8.

8．C　[解析] 由题意，得2a1q2＋a1q3＝16，(a1q＝2，)解得q＝2(a1＝1，)或q＝－4.(，)又a_n＞0，∴q＝2，(a1＝1，)∴a₅＝a₁q⁴＝16.   

9．B　[解析] 根据等比中项的概念，得a_m＋1a_m－1＝am(2)，所以am(2)＝2a_m(m≥2)．又a_m＞0，所以a_m＝2.由于数列{a_n}为等比数列，故a₁＝2，即对任意正整数m，a_m＝2.T_2k－1＝

2×2^2k－2＝512，解得k＝5.

10．C　[解析] 因为a₁＋a₄＋a₇＝99，a₂＋a₅＋a₈＝93，所以a₄＝33，a₅＝31，所以数列{a_n}是以39为首项，－2为公差的等差数列．对任意n∈N^*都有S_n≤S_k成立，而在数列{a_n}

中，a₂₀＝1>0，a₂₁＝－1<0，故S₂₀≥S_n对任意n∈N^*都成立．

11．－20　[解析] 设数列{a_n}的公差为d，则依题意有S11＝11a1＋55d＝9，(S9＝9a1＋36d＝11，)两式相减，得2a₁＋19d＝－2，∴S₂₀＝20a₁＋190d＝－20.

12．512　[解析] 由a₃a₄a₈＝8，得a1(3)q¹²＝8，即a₁q⁴＝2，即a₅＝2，所以T₉＝a₁a₂…a₉＝a5(9)＝512.

13．解：(1)证明：∵对任意正整数n，有n，a_n，S_n成等差数列，

∴2a_n＝n＋S_n(n∈N^*)．

又a_n＝S_n－S_n－1(n≥2且n∈N^*)，

∴2(S_n－S_n－1)＝n＋S_n，即S_n＝2S_n－1＋n，

∴S_n＋n＋2＝2S_n－1＋2n＋2，∴S_n＋n＋2＝2[S_n－1＋(n－1)＋2]，

即Sn－1＋（n－1）＋2(Sn＋n＋2)＝2(n≥2且n∈N^*)，

∴为等比数列．

(2)由(1)知是首项为S₁＋3＝a₁＋3＝4，公比为2的等比数列，

∴S_n＋n＋2＝4×2^n－1＝2^n＋1.

又2a_n＝n＋S_n，

∴2a_n＋2＝2^n＋1，

∴a_n＝2ⁿ－1.

14．解：(1)当n＝1时，a₁＝1，3a_n＋1＋2S_n＝3a₂＋2a₁＝3⇒a₂＝3(1)；

  当n≥2时，3a_n＋1＋2S_n＝3，3a_n＋2S_n－1＝3，两式相减可得3(a_n＋1－a_n)＋2(S_n－S_n－1)＝0，即3a_n＋1－a_n＝0，即an(an＋1)＝3(1).

故数列{a_n}是首项为1，公比为3(1)的等比数列，

所以a_n＝3(1).

(2)因为∀n∈N^*，2(3)k≤S_n恒成立，且S_n＝2(3)n(1)，即2(3)k≤2(3)n(1)，  所以k≤1－

3(1).

当n＝1时，1－3(1)取得最小值3(2)，所以k≤3(2)，故实数k的最大值为3(2).

15．解：(1)当n＝1时，a₁＝S₁＝4(1).当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝4(n2)－4(（n－1）2)＝4(2n－1)，当n＝1时，a₁＝4(2×1－1)＝4(1).

a_n＝4(2n－1)，n∈N^*.

(2)证明：3(b_n－a_n)－(b_n－1－a_n－1)＝(3b_n－b_n－1)－3a_n＋a_n－1＝n－n＝0，

所以(b_n－a_n)＝3(1)(b_n－1－a_n－1)，且b₁－a₁≠0，所以{b_n－a_n}是以b₁－a₁为首项，3(1)为公比的等比数列．

(3)b_n＝4(2n－1)＋4(1)×3(1).

因为数列{T_n}中只有T₃最小，所以b4>0，(b3<0，)解得－47<b₁<－11，

此时，b_n＋1－b_n＝2(1)－2×4(1)×3(1)>0，于是{b_n}为递增数列，

所以n≤3时b_n<0，n≥4时b_n>0，符合题意，故－47<b₁<－11.