20.(本小题满分12分) (2016·河南八校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点.
图6
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P(2,3)，Q(2，-3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值;
当A，B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.
解] (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，则由题意可知b=2.2分
由=，a2=c2+b2，得a=4.
椭圆C的方程为+=1.4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=x+t，5分
代入+=1，得x2+tx+t2-12=0.6分
由Δ>0，解得-4 由韦达定理得x1+x2=-t，x1x2=t2-12. 四边形APBQ的面积S=×6×|x1-x2|==3， 当t=0，Smax=12.8分 由APQ=BPQ，可知PA，PB的斜率之和为0， 设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k(x-2). 由整理得(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0. x1+2=.9分 同理，PB的直线方程为y-3=-k(x-2)，可得x2+2==. x1+x2=，x1-x2=.10分 kAB== ==. 所以AB的斜率为定值.12分 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln ax-(a≠0). (1)求此函数的单调区间及最值; (2)求证：对于任意正整数n，均有1+++…+ ≥ln (e为自然对数的底数). 解] (1)由题意f′(x)=.2分 当a>0时，函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，+∞)上是增函数， f(x)min=f(a)=ln a2，无最大值.4分 当a<0时，函数f(x)的定义域为(-∞，0)， 此时函数在(-∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，f(x)min=f(a)=ln a2，无最大值. 6分 (2)证明：取a=1，由(1)知f(x)=ln x-≥f(1)=0，故≥1-ln x=ln ，10分 取x=1,2,3，…，n，则1+++…+≥ln .12分 请考生在第22～2题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 2.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin，曲线C2的极坐标方程为ρsin θ=a(a>0)，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ-，θ=+φ与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D. (1)若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程; (2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值. 解] (1) C1：(x-1)2+(y-1)2=2，C2：y=a.3分 因为曲线C1关于曲线C2对称，所以a=1，C2：y=1.5分 (2)|OA|=2sin，6分 |OB|=2sin=2cos φ，7分 |OC|=2sin φ，8分 |OD|=2sin=2cos，9分 所以|OA|·|OC|+|OB|·|OD|=4.10分 2.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数f(x)=|x-a|. (1)若f(x)≤m的解集为-1,5]，求实数a，m的值; (2)当a=2且0≤t<2时，解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2). 解] (1)因为|x-a|≤m，所以 a-m≤x≤a+m，3分 所以 解得a=2，m=3.5分 (2)a=2时等价于|x-2|+t≥|x|，6分 当x≥2时，x-2+t≥x， 0≤t<2，舍去;7分 当0≤x<2时，2-x+t≥x， 0≤x≤，成立;8分 当x<0时，2-x+t≥-x，成立.9分 所以原不等式的解集是 .10分
