20.(本小题满分12分)设椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2+=0.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x-y-3=0相切，求椭圆C的方程;
(3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4,0)，求PMN面积的最大值.
解] (1)设Q(x0,0).F2(c,0)，A(0，b)，
=(-c，b)，=(x0，-b).
⊥，-cx0-b2=0，故x0=-.2分
又2+=0，F1为F2Q的中点，故-2c=-+c，即b2=3c2=a2-c2，e==.4分
(2)e==，a=2c，b=c，则F2(c,0)，Q(-3c,0)，A(0, c)，
AQF2的外接圆圆心(-c,0)，半径r=|F2Q|=a=2c，6分
=2c，解得c=1，
a=2，b=，
椭圆C的方程为+=1.8分
(3)设直线MN：x=my+1，代入+=1，得(3m2+4)y2+6my-9=0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1+y2=-，y1y2=-，
|y1-y2|==，
S△PMN=|PF2|·|y1-y2|=，10分
令=λ≥，S△PMN== ≤=，
PMN面积的最大值为，此时m=0.12分
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+-2a+1(a>0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥ln x在1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围;
(3)证明：ln>.
解] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)=a-=(a>0)，
当0
当a≥1时，令f′(x)=0，得x1=-，x2=，2分
列表如下：
x (-∞，x1) (x1,0) (0，x2) (x2，+∞) f′(x) + - - + f(x) 增 减 减 增 此时，f(x)的递增区间是，;递减区间是，.4分
(2)g(x)=ax+-2a+1-ln x，x1，+∞)，
则g(1)=0，g′(x)=a--==，6分
(i)当0
若1 g(x) 故f(x)≥ln x在1，+∞)上不恒成立; (ii)当a≥时，≤1， 若x>1，则g′(x)>0，g(x)是增函数， g(x)>g(1)=0，即f(x)>ln x. 故当x≥1时，f(x)≥ln x. 综上所述，所求a的取值范围是.8分 (3)证明：在(2)中，令a=，可得不等式：ln x≤(x≥1)(当且仅当x=1时等号成立)， 进而可得当ln x2 ln >ln >，10分 令x=>1(n>2)，代入不等式(*)得： ln<-=-=， 则所证不等式成立.12分 请考生在第22～2题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 2.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的参数方程; (2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|. 解] (1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以3分 即4分 从而C2的参数方程为 (α为参数).5分 (2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.7分 射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin， 射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.8分 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.10分 2.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 (2016·贵阳高三联考)已知a，b，cR，且a2+b2+c2=1. (1)求证：|a+b+c|≤; (2)若不等式|x-1|+|x+1|≥(a+b+c)2对一切实数a，b，c恒成立，求x的取值范围. 解] (1)证明：因为a，b，cR. 且a2+b2+c2=1. 所以(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) ≤a2+b2+c2+2 =a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)=3.3分 所以(a+b+c)2≤3， 即|a+b+c|≤，当且仅当a=b=c=时取等号.5分 (2)由(1)可知(a+b+c)2≤3， 所以不等式对一切实数a，b，c恒成立， 等价于不等式 |x-1|+|x+1|≥3， 从而解得x≥或x≤-.9分 所以x的取值范围为.10分
