一、选择题
1. (2014•山东烟台，第7题3分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为( )
A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4.5
考点：等腰梯形的性质，直角三角形中30°锐角的性质，梯形及三角形的中位线.
分析： 根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案.
解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC.
∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6.
∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF=BC= 6=3，
故选：B.
点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质.
2.(2014•湖南怀化，第5题，3分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是( )
A. △ABC≌△DCB B. △AOD≌△COB C. △ABO≌△DCO D. △ADB≌△DAC
考点： 等腰梯形的性质;全等三角形的判定.
分析： 由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易证得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC;继而可证得∠ABO=∠DCO，则可证得△ABO≌△DCO.
解答： 解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SAS);故正确;
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵BC>AD，
∴△AOD不全等于△COB;故错误;
C、∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO(AAS);故正确;
D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ADB和△DAC中，
∴△ADB≌△DAC(SAS)，故正确.
故选B.
点评： 此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
3. (2014•山东淄博,第7题4分)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC.则cos∠DPC的值是( )
A. B. C. D.
考点： 等腰梯形的性质.
分析： 先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数，进而得出结论.
解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
∴∠DPC=60°，
∴cos∠DPC=cos60°=.
故选A.
点评： 本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形同一底上的两个角相等是解答此题的关键.
4.(2014•浙江宁波，第8题4分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为( )
A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. ：
考点： 相似三角形的判定与性质.
分析： 先求出△CBA∽△ACD，求出 = ，COS∠ACB•COS∠DAC= ，得出△ABC与△DCA的面积比= .
解答： 解：∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△CBA∽△ACD
AB=2，DC=3，
∴COS∠ACB= = ，
COS∠DAC= =
∵△ABC与△DCA的面积比= ，
∴△ABC与△DCA的面积比= ，
故选：C.
点评： 本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比= .
5. (2014•湘潭，第3题，3分)如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=( )米.
(第1题图)
A. 7.5 B. 15 C. 22.5 D. 30
考点： 三角形中位线定理
分析： 根据三角形的中位线得出AB=2DE，代入即可求出答案.
解答： 解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=15米，
∴AB=2DE=30米，
故选D.
点评： 本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
6.(2014•德州，第7题3分)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )
A. 4 米 B. 6 米 C. 12 米 D. 24米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
分析： 先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长.
解答： 解：在Rt△ABC中，∵ =i= ，AC=12米，
∴BC=6米，
根据勾股定理得：
AB= =6 米，
故选B.
点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中.根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键.
7. (2014•广西贺州，第9题3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为( )
A. 12 B. 15 C. 12 D. 15
考点： 等腰梯形的性质.
分析： 过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC的度数，故可得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形，由此可得出结论.
解答： 解：过点A作AE∥CD，交BC于点E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD=30°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，
∴∠EAC=30°，
∴AE=CE=3，
∴四边形ADEC是菱形，
∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE=3，
∴梯形ABCD的周长=AB+(BE+CE)+CD+AD=3+3+3+3+3=15.
故选D.
点评： 本题考查的是等腰梯形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键.
8.(2014•襄阳，第10题3分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
考点： 梯形;等腰三角形的性质;平行四边形的判定与性质.
分析： 根据等边对等角可得∠DEC=80°，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣80°=100°.
解答： 解：∵DE=DC，∠C=80°，
∴∠DEC=80°，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC=80°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣80°=100°，
故选：C.
点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补.
9.(2014•台湾，第3题3分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E点在BC上，且AE⊥BC.若AB=10，BE=8，DE=6 ，则AD的长度为何?( )
A.8 B.9 C.62 D.63
分析：利用勾股定理列式求出AE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解.
解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=AB2-BE2=102-82=6，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，
∴AD=DE2-AE2=(63)2-62 =62.
故选C.
点评：本题考查了梯形，勾股定理，是基础题，熟记定理并确定出所求的边所在的直角三角形是解题的关键.
10. (2014年广西钦州，第10题3分)如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A. 13 B. 26 C. 36 D. 39
考点： 等腰梯形的性质;中点四边形.
分析： 首先连接AC，BD，由点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH，FG，EF，GH是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案.
解答： 解：连接AC，BD，
∵等腰梯形ABCD的对角线长为13，
∴AC=BD=13，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，
∴四边形EFGH的周长是：EH+EF+FG+GF=26.
故选B.
点评： 此题考查了等腰梯形的性质以及三角形中位线的性质.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.
，我们将会及时处理。
