三.解答题
1. (2014年江苏南京，第19题)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形?为什么?
(第1题图)
考点：三角形的中位线、菱形的判定
分析：(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明;
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明.
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形;
(2)解答：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形.
理由如下：∵D是AB的中点，∴BD= AB，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形.
点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键.
2. (2014•乐山，第21题10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E.若AD=1，AB=2 ，求CE的长.
考点： 直角梯形;矩形的判定与性质;解直角三角形..
分析： 利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长.
解答： 解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，
在△ABH中，∠B=30°，AB=2 ，
∴cos30°= ，
即BH=ABcos30°=2 × =3，
∴BC=BH+BC=4，
∵CE⊥AB，
∴CE= BC=2.
点评： 此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键.
3. (2014•攀枝花，第19题6分)如图，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，点O为坐标原点，且A(2，﹣3)，C(0，2).
(1)求过点B的双曲线的解析式;
(2)若将等腰梯形OABC向右平移5个单位，问平移后的点C是否落在(1)中的双曲线上?并简述理由.
考点： 等腰梯形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;待定系数法求反比例函数解析式;坐标与图形变化-平移.
分析： (1)过点C作CD⊥AB于D，根据等腰梯形的性质和点A的坐标求出CD、BD，然后求出点B的坐标，设双曲线的解析式为y= (k≠0)，然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答;
(2)根据向右平移横坐标加求出平移后的点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征判断.
解答： 解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A(2，﹣3)，
∴CD=2，BD=3，
∵C(0，2)，
∴点B的坐标为(2，5)，
设双曲线的解析式为y= (k≠0)，
则 =5，
解得k=10，
∴双曲线的解析式为y= ;
(2)平移后的点C落在(1)中的双曲线上.x k b 1 . c o m
理由如下：点C(0，2)向右平移5个单位后的坐标为(5，2)，
当x=5时，y= =2，
∴平移后的点C落在(1)中的双曲线上.
点评： 本题考查了等腰梯形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握等腰梯形的性质并求出点B的坐标是解题的关键.
4. (2014•黑龙江龙东,第26题8分)已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.
(1)当直线m经过B点时，如图1，易证EM= CF.(不需证明)
(2)当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明.
考点： 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;梯形中位线定理..
分析： (1)利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可;
(2)根据题意得出图2的结论为：ME= (BD+CF)，图3的结论为：ME= (CF﹣BD)，进而利用△DBM≌△KCM(ASA)，即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案.
解答： 解：(1)如图1，
∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，
∴ME∥CF，
∵M为BC的中点，
∴E为BF中点，
∴ME是△BFC的中位线，
∴EM= CF.
(2)图2的结论为：ME= (BD+CF)，
图3的结论为：ME= (CF﹣BD).
图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA)，
∴DB=CK DM=MK
由题意知：EM= FK，
∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)
图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA)
∴DB=CK，DM=MK，
由题意知：EM= FK，
∴ME= (CF﹣CK)= (CF﹣DB).
点评： 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DBM≌△KCM(ASA)是解题关键.
，我们将会及时处理。
