2015年四川中考数学考前必做专题试题—图表信息题_第3页

　　3. (2014•江西抚州，第24题，10分)

　　【试题背景】已知：∥ ∥ ∥，平行线与 、 与 、 与之间的距离分别为 1、 2、 3，且 1 = 3 = 1， 2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、 、 、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.

　　【探究1】 ⑴ 如图1，正方形 为“格线四边形”， 于点 , 的反向延长线交直线于点 . 求正方形 的边长.

　　【探究2】 ⑵ 矩形 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形 的宽为 . (直接写出结果即可)

　　【探究3】 ⑶ 如图2，菱形 为“格线四边形”且∠ =60°，△ 是等边三角形， 于点 ， ∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 . 求证： .

　　【拓 展】 ⑷ 如图3，∥，等边三角形 的顶点 、 分别落在直线、上， 于点 ，且 =4 ，∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 ，点 、 分别是线段 、 上的动点，且始终保持 = ， 于点 .

　　猜想： 在什么范围内， ∥ ?并说明此时 ∥ 的理由.

　　解析：(1) 如图1，

　　∵BE⊥l , l ∥k ,

　　∴∠AEB=∠BFC=90°,

　　又四边形ABCD是正方形，

　　∴∠1+∠2=90°，AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,

　　∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),

　　∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 , ∴AB= ,

　　∴正方形的边长是 .

　　(2)如图2,3，

　　⊿ABE∽⊿BCF,

　　∴ 或

　　∵BF=d3=1 ,

　　∴AE= 或

　　∴AB= 或

　　AB=

　　∴矩形ABCD的宽为 或 .

　　(注意：要分2种情况讨论)

　　(3)如图4，

　　连接AC，

　　∵四边形ABCD是菱形，

　　∴AD=DC,

　　又∠ADC=60°,

　　∴⊿ADC是等边三角形，

　　∴AD=AC，

　　∵AE⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，

　　∵⊿AEF是等边三角形， ∴ AF=AE,

　　∴⊿AFD≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.

　　(4)如图5，

　　当2

　　理由如下：

　　连接AM,

　　∵AB⊥k , ∠ACD=90°,

　　∴∠ABE=∠ACD=90°,

　　∵⊿ABC是等边三角形，

　　∴AB=AC ,

　　已知AE=AD, ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD;

　　在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，

　　，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),

　　∴ BM=CM ;

　　∴ME=MD,

　　∴ , ∴ED∥BC.

　　4. (2014•浙江杭州，第23题，12分)复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣(4kx+1)x﹣k+1(k是实数).

　　教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.

　　学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：

　　①存在函数，其图象经过(1，0)点;

　　②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;

　　③当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;

　　④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数.

　　教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

　　考点： 二次函数综合题

　　分析： ①将(1，0)点代入函数，解出k的值即可作出判断;

　　②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假;

　　③根据二次函数的增减性，即可作出判断;

　　④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.

　　解答： 解：①真，将(1，0)代入可得：2k﹣(4k+1)﹣k+1=0，

　　解得：k=0.

　　运用方程思想;

　　②假，反例：k=0时，只有两个交点.运用举反例的方法;

　　③假，如k=1，﹣ =，当x>1时，先减后增;运用举反例的方法;

　　④真，当k=0时，函数无最大、最小值;

　　k≠0时，y最= =﹣ ，

　　∴当k>0时，有最小值，最小值为负;

　　当k<0时，有最大值，最大值为正.运用分类讨论思想.

　　点评： 本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般.