一级结构工程师结构力学考点讲义：第二节_第2页

　　部分结点或全部结点是刚性连接的结构称为刚架。各杆轴线、支座及荷载均在同一平面内的静定刚架称为静定平面刚架。

　　静定平面刚架的内力计算，通常是先求出支座反力及铰接处的约束力，再由截面法求 出各杆端截面的内力，然后根据荷载情况及内力图的特征，逐杆绘制内力图。

　　[例2-2] 绘制图2-5(a)所示刚架的弯矩、剪力、轴力图。

　　图2-5

　　[解] (1)计算支座反力

　　根据刚架的整体平衡条件，由

　　ΣX=0，得HA=4qa;

　　ΣMA=0，得VB=2qa;

　　ΣY=0，得VA=2qa。

　　(2)计算各杆端截面的弯矩、剪力、轴力。由截面法可得各杆端截面的内力值为：

　　AC杆：MAC=0，MCA=16qa2(左侧受拉);VAC=4qa，VCA=—12qa;NAC=2qa，

　　NCA=2qa(轴力以拉力为正)。

　　BE杆：MBD=0，MDB=18qa2(右侧受拉);VBD=—1.2qa，VDB=8.4qa;NBD=—1.6qa，NDB=—8.8qa。

　　CD杆：MCD=16qa2(上侧受拉)，MDC=24qa2(上侧受拉);VCD=—2qa，VDC=—2qa;

　　NCD=—12qa，NDC=—12qa。

　　(3)作弯矩、剪力、轴力图

　　根据上述计算结果及各杆的荷载情况，应用直杆弯矩图的叠加法，并按照内力图的特 征，就可作出刚架的M、V、N图，分别如图2—5(b)、(c)、(d)所示。

　　(4)校核

　　为校核平衡条件，可任取刚架的某些局部为隔离体，如图2-5(e)所示的隔离体，满 足平面一般力系的三个平衡条件：

　　ΣX=0;

　　ΣM=0;

　　ΣY=0。

　　图2—5(f)所示结点D隔离体，满足平面一般力系的三个平衡条件：

　　ΣX=0;

　　ΣMD=0;

　　ΣY=0。

　　七、三铰拱和三铰刚架的内力计算

　　图2—6(a)所示由曲杆组成的结构在竖向荷载作用下将产生水平反力，这种结构称为 拱形结构。而图2—6(b)所示的结构，在竖向荷载作用下其水平支座反力等于零，这种结 构称为曲梁。图2—6(c)所示为两个曲杆由三个不共线的铰与地基两两相连的三铰拱，它 是工程中常用的静定拱形结构，由于它的支座产生水平推力，基础应具有相应的抗力，故 有时做成图2—6(d)所示的拉杆拱，水平推力由拉杆来承担。

　　图2-6

　　三铰拱由于存在水平推力，故拱轴截面中的弯矩比相同跨度相同荷载的简支梁的弯矩要小，使拱成为主要是承受压力的结构，可采用受压性能强而受拉性能差的材料建造。与简支梁相比，拱形结构可以跨越更大的跨度。

　　三铰拱的有关术语表示在图2—6(c)中，工程中常用的矢跨比f/l=0.5～1，常用的拱轴方程有二次抛物线，圆弧线，悬链曲线等。

　　(一)三铰平拱在竖向荷载作用下的支座反力及内力计算

　　拱脚铰在同一水平线上的三铰拱称为三铰平拱。

　　支座反力

　　由图2—7(a)所示三铰拱的整体平衡条件及顶铰C处弯矩为零的条件，可得支座反力的计算公式为

　　VA=VA0 (2—1)

　　VB=VB0 (2—2)

　　HA=HB=H=MC0 /f (2—3)

　　式中VA0、VB0、MC0分别为与三铰拱相同跨度、相同荷载简支梁(简称为三铰拱的代 梁，图2—7b)支座A、B处的支座反力及截面C的弯矩。

　　式(2—3)表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的水平推力只与三个铰的位置有关，而与拱轴线的形状无关。当荷载与拱跨不变时，推力H与矢高f成反比，f愈大即拱愈高时H愈小，f愈小即拱愈平时H愈大。若f=0，则H为无穷大，这时三铰已共线，体系为瞬变体系。

　　取图2—7c所示的隔离体，并由隔离体的平衡条件，可得任意截面D的弯矩、剪力、轴力计算公式为

　　MD=MD0—HyD (2—4)

　　VD=VD0cosφD-HsinφD (2—5)

　　ND=VD0sinφD+HcosφD (2—6)

　　式中MD、VD、ND的正方向如图2—7c所示，MD0、VD0为代梁D截面的弯矩、剪力，yD、φD的含意如图2—7a所示。在图示坐标系中，φD在左半拱内为正，在右半拱内为负。

　　三铰拱的内力计算，除上述数解法外，还可用图解法进行，可通过绘制三铰拱的力多 边形及压力线(索多边形)来确定其内力。

　　图2-7

　　(二)三铰拱的合理拱轴

　　在某种固定荷载作用下，拱的所有截面的弯矩均为零的轴线称为合理拱轴。

　　图2-8

　　三铰拱在竖向荷载作用下合理拱轴的一般表达式，可根据合理拱轴的定义，令式 (2—4)等于零，得合理拱轴方程为

　　y=M0/H (2—7)

　　图2—8a所示三铰拱承受满跨均布荷载q作用，其具体的合理拱轴方程可按式(2-7)推导如下：

　　按图2—8a所示坐标系，将代梁(图2—8b)的弯矩方程

　　M0=qx(l-x)/2

　　及拱的水平推力

　　H=MC0/f=ql2/8f

　　代人式(2—7)得拱的合理拱轴方程为

　　y=4fx(l-x)/l2 (2—8)

　　顺便指出，三铰拱在满跨填料重量作用下的合理拱轴为悬链曲线;在径向均布荷载作用下的合理拱轴为圆弧线。

　　(三)三铰刚架的内力计算

　　分析图2—9a所示的三铰刚架，绘制其弯矩、剪力、轴力图。

　　1.计算支座反力

　　计算三铰刚架的支座反力与三铰拱是类似的，除了应用三个整体平衡条件外，还需要利用铰C处弯矩等于零的条件。经计算得

　　HA=1.33qa;VA=24qa

　　HB=13.33qa;VB=46qa

　　2.计算各杆端截面内力并绘制内力图

　　支座反力求出后，各杆端截面内力计算及各内力图的绘制方法，与前述简支刚架的方 法都是相同的，得出的M、V、N图，分别如图2-9b、c、d所示。

　　( d )

　　图2-9