一、选择题
1.(2016·石家庄二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an-4(nN*)，则an=( )
A.2n+1 B.2n
C.2n-1 D.2n-2
A 由Sn=2an-4可得Sn-1=2an-1-4(n≥2)，两式相减可得an=2an-2an-1(n≥2)，即an=2an-1(n≥2).又a1=2a1-4，a1=4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an=4×2n-1=2n+1，故选A.]
2.数列{an}满足a1=1，且当n≥2时，an=an-1，则a5=( )
A. B.
C.5 D.6
A 因为a1=1，且当n≥2时，an=an-1，则=，所以a5=····a1，即a5=××××1=.故选A.]
3.+++…+的值为( )
A. B.-
C.- D.-+
C ==
=，
+++…+=
=
=-.]
4.在等差数列{an}中，a1=-2 012，其前n项和为Sn，若-=2 002，则S2 014的值等于( )
A.2 011 B.-2 012
C.2 014 D.-2 013
C 等差数列中，Sn=na1+d，=a1+(n-1)，即数列是首项为a1=-2 012，公差为的等差数列.因为-=2 002，所以(2 012-10)=2 002，=1，所以S2 014
=2 014(-2 012)+(2 014-1)×1]
=2 014，选C.]
5.数列{an}满足a1=1，且对任意的m，nN*都有am+n=am+an+mn，则+++…+等于( )
A. B.
C. D.
A 令m=1，得an+1=an+n+1，即an+1-an=n+1，于是a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n，上述n-1个式子相加得an-a1=2+3+…+n，
所以an=1+2+3+…+n=，
因此==2，
所以+++…+
=2
=2=.故选A.]
二、填空题
6.(2016·西安模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，an=4Sn-3，则S4=__________.
an=4Sn-3，当n=1时，a1=4a1-3，解得a1=1，当n≥2时，4Sn=an+3，4Sn-1=an-1+3，4an=an-an-1，=-，{an}是以1为首项，-为公比的等比数列，S4==×=.]
7.(2016·广州二模)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2=12，Sn=kn2-1(nN*)，则数列的前n项和为__________.
令n=1得a1=S1=k-1，令n=2得S2=4k-1=a1+a2=k-1+12，解得k=4，所以Sn=4n2-1，===，则数列的前n项和为++…+==.]
8.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+1(nN*)，且a1=1，则通项公式an=________.
nN* 由Sn=2an+1(nN*)可得Sn-1=2an(n≥2，nN*)两式相减得：
an=2an+1-2an，即=(n≥2，nN*).
又由a1=1及Sn=2an+1(nN*)可得a2=，
所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2=，公比为的等比数列，
故当n>1，nN*时有an=·n-2，
所以有an=nN*.]
三、解答题
9.(2016·郑州模拟)已知等差数列{an}中a2=5，前4项和S4=28.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(-1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.
解] (1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得
2分
4分
an=a1+(n-1)×d=4n-3(nN*).6分
(2)由(1)可得bn=(-1)nan=(-1)n(4n-3)，8分
T2n=-1+5-9+13-17+…+(8n-3)=4×n=4n(nN*).12分
10.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，nN*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn.
解] (1)因为a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，
所以当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=，2分
-得3n-1an=，所以an=(n≥2).4分
在中，令n=1，得a1=，满足an=，所以an=(nN*).6分
(2)由(1)知an=，故bn==n×3n.
则Sn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n，
3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，8分
-得-2Sn=3+32+33+34+…+3n-n×3n+1=-n×3n+1，11分
所以Sn=+(nN*).12分
