一、选择题
1.已知函数y=loga(x-1)+3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于( )
A. B.
C. D.
B y=loga(x-1)+3恒过定点(2,3)，
即a2=2，a3=3，又{an}为等差数列，
an=n，bn=，
T10=1-=，故选B.]
2.已知数列{an}中，a1=-60，an+1=an+3，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )
A.445 B.765
C.1 080 D.3 105
B an+1=an+3，an+1-an=3，{an}是以-60为首项，3为公差的等差数列，
an=-60+3(n-1)=3n-63.
令an≤0，得n≤21，前20项都为负值.
|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30.
Sn=n=×n，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765，故选B.]
3.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，{Sn+nan}为常数列，则an=( )
A. B.
C. D.
B 由题意知，Sn+nan=2，当n≥2时，(n+1)an=(n-1)an-1，
从而···…·=··…·，有an=，当n=1时上式成立，所以an=.故选B.]
4.(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A.192里 B.96里
C.48里 D.24里
B 由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则=378，解得a1=192，则a2=96，即第二天走了96里.故选B.]
二、填空题
5.(2016·山西四校联考)已知数列{an}满足a1=1，an+1·an=2n(nN*)，则S2 016=__________.
3×21 008-3 数列{an}满足a1=1，an+1·an=2n，
n=1时，a2=2，n≥2时，an·an-1=2n-1，÷②得=2，数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，S2 016=+=3×21 008-3.]
6.设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，nN*，则a1=__________，S5=__________.
1 121 an+1=2Sn+1，Sn+1-Sn=2Sn+1，
Sn+1=3Sn+1，Sn+1+=3，
数列是公比为3的等比数列，
=3.
又S2=4，S1=1，a1=1，
S5+=×34=×34=，
S5=121.]
三、解答题
7.(2016·太原二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)，求数列的前n项和Tn.
解] (1)，an，Sn成等差数列，2an=Sn+，1分
当n=1时，2a1=S1+，a1=，2分
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，=2，4分
数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，an=2n-2(nN*).6分
(2)bn=log2a2n+1×log2a2n+3=log222n+1-2×log222n+3-2
=(2n-1)(2n+1)，8分
=×=，10分
Tn=
==.12分
8.已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，nN*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=，求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3n-1，求数列{an}的前n项和Sn.
解] (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0，nN*)，
所以-=2，2分
即cn+1-cn=2.3分
又c1==1，
所以数列{cn}是以首项c1=1，公差d=2的等差数列，故cn=2n-1.5分
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1，7分
于是数列{an}的前n项和
Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1，8分
3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n，9分
相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n，11分
所以Sn=(n-1)3n+1.12分
