题型一 空间中的平行问题
例1 在如图所示多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1.
(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明.
(2)求多面体ABCDE的体积.
破题切入点 (1)可先猜后证，可以利用线面平行的判定定理进行证明.
(2)找到合适的底面.
解 如图，(1)由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
所以AB∥ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连结FH，AH，则FH綊ED，
所以FH綊AB，
所以四边形ABFH是平行四边形，
所以BF∥AH，
又因为BF平面ACD，AH平面ACD，
所以BF∥平面ACD.
(2)取AD中点G，连结CG.
因为AB⊥平面ACD，
所以CG⊥AB，
又CG⊥AD，AB∩AD=A，
所以CG⊥平面ABED，
即CG为四棱锥C-ABED的高，求得CG=，
所以VC-ABED=××2×=.
即多面体ABCDE的体积为.
题型二 空间中的垂直问题
例2 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C.
(1)求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.
(2)若AB=2，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
破题切入点 (1)考查面面垂直的判定定理.
(2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系.
(1)证明 由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1.
又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，
所以AB⊥平面BB1C1C，
又AB平面AA1B1B，
所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.
(2)解 由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，
连结CO，则CO⊥BB1.
由(1)知，CO⊥平面AA1B1B，
且CO=BC=AB=.
连结AB1，则=·CO
=AB2·CO=.
因为===，
所以=2.
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为2.
题型三 空间中的平行、垂直综合问题
例3 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA.
(1)求证：平面EFG∥平面PMA;
(2)求证：平面EFG⊥平面PDC;
(3)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.
破题切入点 (1)证明EG、FG都平行于平面PMA.
(2)证明GF⊥平面PDC.
(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解.
(1)证明 ∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，
∴EG∥PM，GF∥BC.
又∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.
∵EG平面PMA，GF平面PMA，PM平面PMA，AD平面PMA，
∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA.
又∵EG平面EFG，GF平面EFG，EG∩GF=G，
∴平面EFG∥平面PMA.
(2)证明 由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
∴PD⊥平面ABCD.
又BC平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.
又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC.
由(1)知GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.
又GF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.
(3)解 ∵PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2.
∵DA⊥平面MAB，且PD∥MA，
∴DA即为点P到平面MAB的距离，
∴VP-MAB∶VP-ABCD
=(S△MAB·DA)∶(S正方形ABCD·PD)
=S△MAB∶S正方形ABCD=∶(2×2)=1∶4.
即三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比为1∶4.
总结提高 1.证明平行关系的方法：
(1)证明线线平行的常用方法：
①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行;
②利用平行四边形进行转换;
③利用三角形中位线定理证明;
④利用线面平行、面面平行的性质定理证明.
(2)证明线面平行的常用方法：
①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行;
②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行.
(3)证明面面平行的方法：
证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.
2.证明空间中垂直关系的方法：
(1)证明线线垂直的常用方法
①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直;
②利用勾股定理逆定理;
③利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.
(2)证明线面垂直的常用方法
①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直;
②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直;
③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等.
(3)证明面面垂直的方法
证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.
