1.若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中与a平行的直线的条数为________.
答案 一条
解析 由直线a与B确定的平面与β有唯一交线.故存在唯一与a平行的直线.
2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角为________.
答案 90°
解析 在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，
所以A1D⊥平面AD1C1B，又C1E平面AD1C1B，故A1D⊥C1E.
3.已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β;②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β;③存在两条平行直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥α;④存在两条异面直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是________.
答案 ①④
解析 对于②，平面α与β还可以相交;
对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，
所以②③是错误的，易知①④正确.
4.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ;②a∥γ，b∥β;③b∥β，aγ.如果命题“α∩β=a，bγ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________.
答案 ①或③
解析 由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③.
5.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.
答案 ①②③
解析 对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB为⊙O的直径，∵PA∩AC=A，
∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，
又PC平面PAC，∴BC⊥PC;
对于②，∵点M为线段PB的中点，
∴OM∥PA，∵PA平面PAC，∴OM∥平面PAC;
对于③，由①知BC⊥平面PAC，
∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，
故①②③都正确.
6.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行;
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直;
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
其中为真命题的是________.(写出所有真命题的序号)
答案 ①②
解析
由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题;由线面平行的判定定理知，②为真命题;对于③，如图，α∩β=l，aα，a⊥l，但不一定有α⊥β，故③为假命题;对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题.
综上所述，真命题的序号为①②.
7.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若=，则直线MN与平面BDC的位置关系是________.
答案 平行
解析 在平面ABD中，=，
∴MN∥BD.
又MN平面BCD，BD平面BCD，
∴MN∥平面BCD.
8.底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱.已知一等边圆柱的底面半径为2，则其体积为________.
答案 16π
解析 由题意，圆柱的高为4，则V=π·22·4=16π.
9.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论中：①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).
答案 ①④
解析 由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB=A，
得AE⊥平面PAB，
又PB平面PAB，∴AE⊥PB，①正确;
∵平面PAD⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错;
由正六边形的性质得BC∥AD，
又AD平面PAD，BC平面PAD，∴BC∥平面PAD，
∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错;
在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，
∴④正确.
10.给出命题：
①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行;
②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α;
③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;
④在三棱锥S-ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心;
⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行.
其中，正确的命题是________.(只填序号)
答案 ②④
解析 ①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交;
③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件;
⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面;
易知②④正确.
11.如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.
求证：(1)AN∥平面A1MK;
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
证明 (1)如图所示，连结NK.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，
∴AA1∥DD1，AA1=DD1，
C1D1∥CD，C1D1=CD.
∵N，K分别为CD，C1D1的中点，
∴DN∥D1K，DN=D1K，
∴四边形DD1KN为平行四边形.
∴KN∥DD1，KN=DD1，∴AA1∥KN，AA1=KN.
∴四边形AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.
∵A1K平面A1MK，AN平面A1MK，
∴AN∥平面A1MK.
(2)如图所示，连结BC1.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
AB∥C1D1，AB=C1D1.
∵M，K分别为AB，C1D1的中点，
∴BM∥C1K，BM=C1K.
∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
A1B1⊥平面BB1C1C，
BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.
∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.
∴MK⊥B1C.∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C=B1，∴MK⊥平面A1B1C.
又∵MK平面A1MK，
∴平面A1B1C⊥平面A1MK.
12.(2014·课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高.
(1)证明 如图，连结BC1，
则O为B1C与BC1的交点.
因为侧面BB1C1C为菱形，
所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，
所以B1C⊥AO，
又BO∩AO=O，
故B1C⊥平面ABO.
由于AB平面ABO，
故B1C⊥AB.
(2)解 在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，
连结AD.
在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.
由于BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
故BC⊥平面AOD，
所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，AD∩BC=D，
所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1=60°，
所以△CBB1为等边三角形.
又BC=1，可得OD=.
由于AC⊥AB1，
所以OA=B1C=.
由OH·AD=OD·OA，
且AD==，
得OH=.
又O为B1C的中点，
所以点B1到平面ABC的距离为，
故三棱柱ABC-A1B1C1的高为.
