一、选择题
1.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是( )
A.4 B.3
C.4 D.8
答案：C 命题立意：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和考生的运算能力.根据已知条件中的直线的斜率和所经过的点F，写出直线方程，从而通过解方程组求出点A的坐标，得到三角形的底边长与高，计算出三角形的面积.
解题思路：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，抛物线的焦点坐标为(1,0).直线AF的方程y=(x-1)，解方程组得或因为点A在x轴的上方，所以符合题意，即点A的坐标为(3，2)，|AK|=3+1=4，点F到直线AK的距离d即为点A的纵坐标2，因此SAKF=|AK|·d=4.
2.已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )
A.-x2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
答案：D 解题思路：设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)，而抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，即F(2,0)，
4=a2+b2.又圆F：(x-2)2+y2=2与双曲线C的渐近线y=±x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=， a2=b2=2，故双曲线C的方程为-=1.
3.已知数列{an}的通项公式为an=(nN*)，其前n项和Sn=，则双曲线-=1的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案：C 命题立意：本题主要考查裂项法求数列的前n项和与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的基本运算能力.
解题思路：依题意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故双曲线方程是-=1，该双曲线的渐近线方程是y=± x=±x，故选C.
4.如图所示，F1，F2是双曲线-=1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.+1 B.+1
C. D.
答案：B 命题立意：本题主要考查圆的性质与双曲线的性质等知识，意在考查考生的基本运算能力.
解题思路：连接AF1，依题意，得AF1AF2，又AF2F1=30°， |AF1|=c，|AF2|=c，因此该双曲线的离心率e===+1，故选B.
5.设e1，e2分别为具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|+|=||，则 的值为( )
A. B.2
C. D.1
答案：A 解题思路：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m>n.由|+|=||知，F1PF2=90°，则m2+n2=4c2， e1=，e2=，+==2，=.
二、填空题
6.若双曲线-=1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x-m)2+y2≥16内，则实数m的取值范围是________.
答案：(-∞，-5][5，+∞) 命题立意：本题主要考查双曲线的简单几何性质，直线与圆的位置关系，考查等价转化思想，考查分析问题、解决问题的能力.
解题思路：问题等价于已知双曲线的渐近线4x±3y=0与圆相离或者相切，故实数m满足≥4，即m≥5或m≤-5.
7.已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x-1)2+y2=相切，且双曲线的右焦点为抛物线y2=4x的焦点，则该双曲线的标准方程为________.
答案：-y2=1 命题立意：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程、几何性质，点到直线的距离公式以及基本量间的关系等.
解题思路：由题意可知双曲线中c=.设双曲线-=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为kx-y=0，根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径，得k2=，即=.又a2+b2=()2，则a2=4，b2=1，所以所求的标准方程为-y2=1.
8.已知双曲线-=1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且MF1MF2，则点M到x轴的距离为________.
答案： 命题立意：本题主要考查双曲线的几何性质，以及点到直线的距离，考查考生的运算求解能力.
解题思路：设M(x，y)，F1(-3,0)，F2(3,0)，则由MF1MF2，得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在双曲线上，故可以解方程组y2=，故点M到x轴的距离为.
三、解答题
9.已知椭圆C：+=1(a>)的右焦点F在圆D：(x-2)2+y2=1上，直线l：x=my+3(m≠0)交椭圆于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若(O为坐标原点)，求m的值;
(3)设点N关于x轴的对称点为N1(N1与点M不重合)，且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由.
解析：(1)由题设知，圆D：(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0)，半径是1，
故圆D与x轴交于两点(3,0)，(1,0).
所以在椭圆中，c=3或c=1，又b2=3，
所以a2=12或a2=4(舍去， a>).
于是，椭圆C的方程为+=1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
直线l与椭圆C方程联立
化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0，
y1+y2=，y1y2=.
x1+x2=m(y1+y2)+6=.
x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=++9=.
⊥，·=0，
即x1x2+y1y2=0，得=0.
m2=，m=±.
(3) M(x1，y1)，N1(x2，-y2)，
直线N1M的方程为=.
令y=0，则x=+x1=
==
==4.
P(4,0).
解法一：SPMN=|FP|·|y1-y2|
=·1·
=
=2
=2
≤2·=1.
当且仅当m2+1=3，即m=±时等号成立，
故PMN的面积存在最大值1.
(或SPMN=2·
=2·.
令t=，
则SPMN=2·
=2·≤1.
当且仅当t=时等号成立，此时m2=2，
故PMN的面积存在最大值1.)
解法二：|MN|=
=
=
=4·，
点P到直线l的距离为= .
所以SPMN=··
=2
=2.
令t=，
SPMN=2
=2≤=1，
当且仅当t=时，此时m2=2，
故PMN的面积存在最大值，其最大值为1.
