10.已知P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：-=1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=λ+，求λ的值.
解析：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上，有-=1.
由题意有·=，可得a2=5b2，
c2=a2+b2=6b2，则e==.
(2)联立得
4x2-10cx+35b2=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
设=(x3，y3)，=λ+，
即
又C为双曲线上一点，即x-5y=5b2，有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2，
化简得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x-5y=5b2，x-5y=5b2.
由式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2，
得λ2+4λ=0，解出λ=0或λ=-4.
11.已知抛物线C：y2=x，过点A(x0,0)作直线l交抛物线于点P，Q(点P在第一象限).
(1)当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|=2时，求直线l的方程;
(2)设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BPBQ.求证：点B的坐标是(-x0,0)，并求点B到直线l的距离d的取值范围.
解析：(1)由抛物线C：y2=x，得抛物线的焦点坐标为，设直线l的方程为x=ny+，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
由得y2-ny-=0.
所以Δ=n2+1>0，y1+y2=n.
因为x1=ny1+，x2=ny2+，
所以|PQ|=x1++x2+=x1+x2+
=n(y1+y2)+1=2.
所以n2=1，即n=±1.
所以直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.
即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0.
(2)设l：x=my+x0(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则M(x2，-y2).
由消去x，得y2-my-x0=0.
因为x0≥，所以Δ=m2+4x0>0，
y1+y2=m，y1y2=-x0.
解法一：设B(xB,0)，则=(x2-xB，-y2)，=(x1-xB，y1).
由题意知，
x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2，
即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=yy2+yy1=(y1+y2)y1y2.
显然y1+y2=m≠0， xB=y1y2=-x0，
B(-x0,0).
由题意知，MBQ为等腰直角三角形，
kPB=1，即=1，也即=1，
y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1，
即m2+4x0=1， m2=1-4x0>0， x0<.
x0≥， ≤x0<.
d===
=.
∴ d的取值范围是.
解法二：因为直线l：y-y1=(x-x1)，
所以令y=0，则
x=x1-=x1-
=x1-y+y1y2=-x0，
B(-x0,0).
由题意知，MBQ为等腰直角三角形，
kPB=1，即=1，
y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1，
即m2+4x0=1，
m2=1-4x0.
x0≥， 0 d=== = =. ∴ d的取值范围是. 12.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，直线l与椭圆相交于A，B两个不同点. (1)求实数m的取值范围; (2)证明：直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形. 解析：(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0)， 由题意得 ∴ 椭圆方程为+=1. 由题意可得直线l的方程为y=x+m(m≠0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则点A，B的坐标是方程组的两组解. 消去y得x2+2mx+2m2-4=0. Δ=4m2-4(2m2-4)>0， -2 又 m≠0， 实数m的取值范围为(-2,0)(0,2). (2)证明：由题意可设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可， 由(1)得x2+2mx+2m2-4=0， x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4， k1+k2=+ = = ==0， 直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形.
