11.如图，在平面直角坐标系xOy中，设点F(0，p)(p>0)，直线l：y=-p，点P在直线l上移动，R是线段PF与x轴的交点，过R，P分别作直线l1，l2，使l1PF，l2l，l1∩l2=Q.
(1)求动点Q的轨迹C的方程;
(2)在直线l上任取一点M作曲线C的两条切线，设切点为A，B，求证：直线AB恒过一定点;
(3)对(2)求证：当直线MA，MF，MB的斜率存在时，直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列.
解题思路：本题考查轨迹方程的求法及直线与抛物线的位置关系.(1)利用抛物线的定义即可求出抛物线的标准方程;(2)利用导数及方程根的思想得出两切点的直线方程，进一步求出直线恒过的定点;(3)分别利用坐标表示三条直线的斜率，从而化简证明即可.
解析：(1)依题意知，点R是线段PF的中点，且RQ⊥FP，
RQ是线段FP的垂直平分线. |QP|=|QF|.故动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：x2=4py(p>0).
(2)设M(m，-p)，两切点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
由x2=4py得y=x2，求导得y′=x.
两条切线方程为y-y1=x1(x-x1)，
y-y2=x2(x-x2)，
对于方程，代入点M(m，-p)得，
-p-y1=x1(m-x1)，又y1=x，
-p-x=x1(m-x1)，
整理得x-2mx1-4p2=0.
同理对方程有x-2mx2-4p2=0，
即x1，x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根.
x1+x2=2m，x1x2=-4p2.
设直线AB的斜率为k，k===(x1+x2)，
所以直线的方程为y-=(x1+x2)(x-x1)，展开得：
y=(x1+x2)x-，
将代入得：y=x+p.
直线恒过定点(0，p).
(3)证明：由(2)的结论，设M(m，-p)，A(x1，y1)，B(x2，y2)且有x1+x2=2m，x1x2=-4p2，
kMA=，kMB=.
+=+
=+=+
=+=
===-.
又 ==-，
所以+=.
即直线的斜率的倒数成等差数列.
规律总结：从近几年课标地区的高考命题来看，解析几何综合题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，近几年高考题中经常出现以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，综合考查运用圆锥曲线的有关知识分析问题、解决问题的能力.
12.已知点F(0,1)，直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·=·.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，求+的最大值.
解题思路：本题考查轨迹的求法、向量的运算、基本不等式的运用.(1)利用直接法及数量积的坐标运算即可得到动点的轨迹方程;(2)先设出圆的方程，求出点A，B坐标，然后利用基本不等式求出所给式子的最大值.
解析：(1)设P(x，y)，则Q(x，-1)，
·=·，
(0，y+1)·(-x,2)=(x，y-1)·(x，-2).
即2(y+1)=x2-2(y-1)，即x2=4y，
所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
(2)设圆M的圆心坐标为M(a，b)，
则a2=4b.
圆M的半径为|MD|=.
圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+(b-2)2.
令y=0，则(x-a)2+b2=a2+(b-2)2，
整理得，x2-2ax+4b-4=0.
由，解得，x=a±2.
不妨设A(a-2,0)，B(a+2,0)，
l1=，l2=.
+===2
=2，
当a≠0时，由得，+=2
≤2=2.
当且仅当a=±2时，等号成立.
当a=0时，由得，+=2.
故当a=±2时，+的最大值为2.
规律总结：本题立足基础概括了解析几何的大部分内容，并融入了向量的知识.通过解析几何自身的特点，结合相应的数学知识综合考查.解决此类问题要熟练运用解析几何的经典思维，化繁为简，逐步解决.
13.已知抛物线y2=4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴(垂足为T)，与抛物线交于不同的两点P，Q，且·=-5.
(1)求点T的横坐标x0;
(2)若以F1，F2为焦点的椭圆C过点.
求椭圆C的标准方程;
过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，设=λ，若λ[-2，-1]，求|+|的取值范围.
解析：(1)由题意得F2(1,0)，F1(-1,0)，
设P(x0，y0)，Q(x0，-y0)，
则=(x0+1，y0)，=(x0-1，-y0).
由·=-5，得x-1-y=-5，
即x-y=-4，
又P(x0，y0)在抛物线上，则y=4x0，
联立、解得x0=2.
(2)设椭圆的半焦距为c，由题意得c=1，
设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0)，
则+=1，
a2=b2+1.
将代入，解得b2=1或b2=-(舍去)，
所以a2=b2+1=2.
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
方法一：容易验证直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=ky+1，
将直线l的方程代入+y2=1中得：
(k2+2)y2+2ky-1=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1≠0且y2≠0，
则由根与系数的关系，可得：
y1+y2=-，
y1y2=-.
因为=λ，所以=λ，且λ<0.
将式平方除以式，得：
++2=-λ++2=-.
由λ[-2，-1]-≤λ+≤-2-≤λ++2≤0-≤-≤0，
所以0≤k2≤.
因为=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)，
所以+=(x1+x2-4，y1+y2)，
又y1+y2=-，
所以x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-.
故|+|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2
=+
=
=16-+，
令t=，所以0≤k2≤.
所以≤≤，即t，
所以|+|2=f(t)=8t2-28t+16
=82-.
而t，所以f(t).
所以|+|∈.
方法二：当直线l斜率不存在时，即λ=-1时，A，B，
又T(2,0)，
所以|+|=+=2.
当直线l的斜率存在时，即λ[-2，-1)时，
设直线l的方程为y=k(x-1)，
由得
(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然y1≠0，y2≠0，则由根与系数的关系，
可得：x1+x2=，x1x2=.
y1+y2=k(x1+x2)-2k=，
y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=.⑥
因为=λ，所以=λ，且λ<0.
将式平方除以式得：
λ++2=.
由λ[-2，-1)，得λ+，
即λ++2，
故-≤<0，解得k2≥.
因为=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)，
所以+=(x1+x2-4，y1+y2)，
又x1+x2-4=，
故|+|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2
=+
=
=4++.
令t=，因为k2≥，
所以0<≤，即t，
所以|+|2=2t2+10t+4=22-.
所以|+|，
综上所述，|+|.
