.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
解 (1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),
直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.
又直径|CD|=4,|PA|=2,
(a+1)2+b2=40,
由解得或
圆心P(-3,6)或P(5,-2),
圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.
.已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
解 (1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根据题意得:
解得a=b=1,r=2,
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S=SPAM+SPBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,
而|PA|==,
即S=2.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,
所以|PM|min==3,
所以四边形PAMB面积的最小值为
S=2=2=2.
.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
解 (1)设圆心C(a,b),则解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,且·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2,
令x=cos θ,y=sin θ,
·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2
=2sin-2,
所以·的最小值为-4..已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;
(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.
(1)设点P的坐标为(x,y),
则=2.
化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,由直线l2是此圆的切线,连接CQ,则|QM|==,
当CQl1时,|CQ|取最小值,
|CQ|==4, 此时|QM|的最小值为=4.