14.(2014·唐山市一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则( )
A.4n-1 B.4n-1
C.2n-1 D.2n-1
[答案] C
[解析] 设公比为q,则a1(1+q2)=,a2(1+q2)=,q=,a1+a1=,a1=2.
an=a1qn-1=2×()n-1,Sn==4[1-()n],==2(2n-1-)
=2n-1.
[点评] 用一般解法解出a1、q,计算量大,若注意到等比数列的性质及求,可简明解答如下:
a2+a4=q(a1+a3),q=,
====2n-1.
二、填空题
15.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)如图所示,将正整数排成三角形数阵,每排的数称为一个群,从上到下顺次为第一群,第二群,…,第n群,…,第n群恰好n个数,则第n群中n个数的和是________.
[答案] 3·2n-2n-3
[解析] 由图规律知,第n行第1个数为2n-1,第2个数为3·2n-2,第3个数为5·2n-3……设这n个数的和为S
则S=2n-1+3·2n-2+5×2n-3+…+(2n-3)·2+(2n-1)·20
2Sn=2n+3·2n-1+5·2n-2+…+(2n-3)·22+(2n-1)·21
②-得Sn=2n+2·2n-1+2·2n-2+…+2·22+2·2-(2n-1)
=2n+2n+2n-1+…+23+22-(2n-1)
=2n+-(2n-1)
=2n+2n+1-4-2n+1
=3·2n-2n-3.
16.在数列{an}中,若a-a=p(n≥2,nN*)(p为常数),则称{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断:
若数列{an}是等方差数列,则数列{a}是等差数列;
数列{(-1)n}是等方差数列;
若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列必为常数列;
若数列{an}是等方差数列,则数列{akn}(k为常数,kN*)也是等方差数列.
其中正确命题的序号为________.
[答案]
[解析] 由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知均正确.
三、解答题
17.(文)(2013·浙江理,18)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
[解析] (1)由题意得a1·5a3=(2a2+2)2,a1=10,
即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,
由(1)得d=-1,an=-n+11.则
当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.
当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.
综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=
(理)(2013·天津十二区县联考)已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f(),nN*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn<对一切nN*成立,求最小的正整数m.
[解析] (1)an+1=f()==an+,
{an}是以为公差,首项a1=1的等差数列,
an=n+.
(2)当n≥2时,
bn==
=(-),
当n=1时,上式同样成立.
Sn=b1+b2+…+bn
=(1-+-+…+-)
=(1-),
Sn<,即(1-)<对一切nN*成立,
又(1-)随n递增,且(1-)<,
≤,m≥2013,m最小=2013.
18.(文)(2014·吉林市质检)已知数列{an}满足首项为a1=2,an+1=2an,(nN*).设bn=3log2an-2(nN*),数列{cn}满足cn=anbn.
(1)求证:数列{bn}成等差数列;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
[解析] (1)由已知可得,an=a1qn-1=2n,
bn=3log22n-2
bn=3n-2,bn+1-bn=3,
{bn}为等差数列,其中b1=1,d=3.
(2)cn=anbn=(3n-2)·2n
Sn=1·2+4·22+7·23+…+(3n-2)·2n
2Sn=1·22+4·23+7·24+……+(3n-5)·2n+(3n-2)·2n+1
①-得
-Sn=2+3[22+23+24+……+2n]-(3n-2)·2n+1
=2+3·-(3n-2)·2n+1
=-10+(5-3n)·2n+1
Sn=10-(5-3n)·2n+1.
(理)已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(nN*).
(1)求p的值及an;
(2)若bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求使Tn>成立的最小正整数n的值.
[解析] 本题主要考查等差数列的概念及有关计算,数列求和的方法,简单分式不等式的解法,化归转化思想及运算求解能力等.
(1)解法1:{an}是等差数列,
Sn=na1+d=na1+×2
=n2+(a1-1)n.
又由已知Sn=pn2+2n,
p=1,a1-1=2,a1=3,
an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.
解法2:由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,
即a1+a2=4p+4,a2=3p+2.
又等差数列的公差为2,a2-a1=2,
2p=2,p=1,a1=p+2=3,
an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.
解法3:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2,
a2=3p+2,由已知a2-a1=2,2p=2,p=1,
a1=p+2=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,
p=1,an=2n+1.
(2)由(1)知bn==-,
Tn=b1+b2+b3+…+bn
=(-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=.
又Tn>,>,20n>18n+9,
即n>,又nN*.
∴使Tn=成立的最小正整数n的值为5.