函数的奇偶性
题组一
函数的奇偶性的判定
1.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是 ( )
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
解析:由奇函数的定义验证可知②④正确,选D.
答案:D
2.已知二次函数f(x)=x2-ax+4,若f(x+1)是偶函数,则实数a的值为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
解析:∵f(x)=x2-ax+4,
∴f(x+1)=(x+1)2-a(x+1)+4
=x2+2x+1-ax-a+4
=x2+(2-a)x+5-a,
f(1-x)=(1-x)2-a(1-x)+4
=x2-2x+1-a+ax+4
=x2+(a-2)x+5-a.
∵f(x+1)是偶函数,
∴f(x+1)=f(-x+1),
∴a-2=2-a,即a=2.
答案:D
3.若函数f(x)=x2+(a∈R),则下列结论正确的是 ( )
A.?a∈R,f(x) 在(0,+∞)上是增函数
B.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数
C.?a∈R,f(x)是偶函数
D.?a∈R,f(x)是奇函数
解析:当a=16时,f(x)=x2+,f′(x)=2x-,
令f′(x)>0得x>2.
∴f(x)在(2,+∞)上是增函数,故A、B错.
当a=0时,f(x)=x2是偶函数,故C正确.
D显然错误,故选C.
答案:C
题组二
函数奇偶性的应用
4.已知函数f (x)=ax4+bcosx-x,且f (-3)=7,则f (3)的值为 ( )
A.1 B.-7 C.4 D.-10
解析:设g(x)=ax4+bcosx,则g(x)=g(-x).由f (-3)=g(-3)+3,得g(-3)=f(-3)-3=4,所以g(3)=g(-3)=4,所以f (3)=g(3)-3=4-3=1.
答案:A
5.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=( )
A.-2 B.2 C.-98 D.98
解析:由f(x+4)=f(x),得f(7)=f(3)=f(-1),
又f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1),
f(1)=2×12=2,∴f(7)=-2.故选A.
答案:A
6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)= ( )
A.0 B.1 C. D.5
解析:由f(1)=,
对f(x+2)=f(x)+f(2),
令x=-1,
得f(1)=f(-1)+f(2).
又∵f(x) 为奇函数,∴f(-1)=-f(1).
于是f(2)=2f(1)=1;
令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=,
于是f(5)=f(3)+f(2)=.
答案:C