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2017年北京高考数学复习:函数的奇偶性_第2页

中华考试网  2016-11-05  【

7.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且f()>0>f(-),则方程f(x)=0的根的个数为 (  )

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:由于函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,因此在(-∞,0)上单调递增,又因为f()>0>f(-)=f(),所以函数f(x)在(,)上与x轴有一个交点,必在(-,-)上也有一个交点,故方程f(x)=0的根的个数为2.

答案:C

8.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2008x+log2008x,则方程f(x)=0的实根的个数为    .

解析:当x>0时,f(x)=0即2008x=-log2008x,在同一坐标系下分别画出函数f1(x)=2008x,f2(x)=-log2008x的图象(图略),可知两个图象只有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<0时,方程f(x)=0也有一个实根,又因为f(0)=0,所以方程f(x)=0的实根的个数为3.

答案:3

题组三

函数的奇偶性与单调性的综合问题

9.定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈ 上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4, 则x1+x2+x3+x4=    .

解析:由f(x-4)=-f(x)?f(4-x)=f(x),

故函数图象关于直线x=2对称,

又函数f(x)在上是增函数,且为奇函数,

故f(0)=0,故函数f(x)在(0,2]上大于0,

根据对称性知函数f(x)在上单调递增,求实数a的取值范围.

解:(1)设x<0,则-x>0,

所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),

于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,

所以m=2.

(2)要使f(x)在上单调递增,

结合f(x)的图象知

所以1

(理)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.

(1)求a、b的值;

(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.

解:(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,

即=0,解得b=1,从而有f(x)=.

又由f(1)=-f(-1),知=-,解得a=2.

故a=2,b=1.

(2)由(1)知f(x)==-+.

由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.

又因f(x)是奇函数,

从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0

等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).

因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k,

即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.

从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<-.

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