7.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且f()>0>f(-),则方程f(x)=0的根的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:由于函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,因此在(-∞,0)上单调递增,又因为f()>0>f(-)=f(),所以函数f(x)在(,)上与x轴有一个交点,必在(-,-)上也有一个交点,故方程f(x)=0的根的个数为2.
答案:C
8.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2008x+log2008x,则方程f(x)=0的实根的个数为 .
解析:当x>0时,f(x)=0即2008x=-log2008x,在同一坐标系下分别画出函数f1(x)=2008x,f2(x)=-log2008x的图象(图略),可知两个图象只有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<0时,方程f(x)=0也有一个实根,又因为f(0)=0,所以方程f(x)=0的实根的个数为3.
答案:3
题组三
函数的奇偶性与单调性的综合问题
9.定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈ 上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4, 则x1+x2+x3+x4= .
解析:由f(x-4)=-f(x)?f(4-x)=f(x),
故函数图象关于直线x=2对称,
又函数f(x)在上是增函数,且为奇函数,
故f(0)=0,故函数f(x)在(0,2]上大于0,
根据对称性知函数f(x)在上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2)要使f(x)在上单调递增,
结合f(x)的图象知