[例1.1-10]某足球队在未来一周中有两场比赛，在第一场比赛中获胜的概率为1/2，在第二场比赛中获胜的概率是1/3，如果在两场比赛中都获胜概率是1/6，那么在两场比赛中至少有一场获胜的概率是多少?
解：设事件ai=“第i场比赛获胜”，i=1，2。于是有：
p(a1)=1/2，p(a2)=1/3，p(a1a2)=1/6。
由于事件“两场比赛中至少有一场获胜”可用事件a1∪a2表示，所求概率为
p(a1∪a2)。另外由于事件a1与a2是可能同时发生的，故a1与a2不是互不相容事件，应用性质4来求，即：
p(a1∪a2)=p(a1)+p(a2)-p(a1a2)=1/2+1/3-1/6=2/3
这表明在未来两场比赛中至少有一场获胜的概率为2/3。
(二) 条件概率及概率的乘法法则
条件概率涉及两个事件a与b，在事件b发生的条件下，事件a发生的概率称为条件概率, 记为 。条件概率的计算公式为:
(1.1-3)
为了帮助同学们理解，我们用图1.1—11来说明1.1-3式中各符号的含义： 是事件b的面积除以样本空间的面积， 是图中的阴影部分的面积除以样本空间的面积， 是阴影部分的面积除以事件b的面积。
注：① 时，条件概率无意义。(即条件不能是不可能事件)
② 。(即 是特殊的条件概率)
1.1—3式表明:条件概率可用两个特定的 (无条件) 概率之商来计算，在举例说明之前，先导出概率的乘法公式。
性质6：对任意两个事件a与b 有:
(1.1-4)
其中第一个等式要求p(b)>0，第二个等式要求p(a)>0。这一性质可以从图1.1—11中很容易看出。
[例1.1-11] 考虑有两个孩子的家庭： ，其中b表示男孩，g表示女孩。求：(1)家中有一个男孩和一个女孩的概率。(2)在有女孩的家庭中，有一个男孩的概率。
解：若事件a表示：家中至少有一个男孩，则p(a)= ;
若事件b表示：家中至少有一个女孩，则p(b)= ;
家中有一个男孩和一个女孩的概率为：
在有女孩的家庭中，有一个男孩的概率为：
[例1.1-12] 设某样本空间含有25个等可能的样本点，又设事件a含有其中15个样本点，事件b含有7个样本点，交事件ab含有5个样本点，详见图1.1-11(书第23页)。由古典定义可知:
于是在事件b发生的条件下，事件a的条件概率为:
这个条件概率也可以这样来认识: 事件b发生，意味着其对立事件 不会发生。因此 中18个样本点可不予考虑，可能的情况是事件b中的7个样本点之一。可见事件b的发生把原来的样本空间 缩减为新的样本空间 =b。这时事件a所含样本点在 中所占比率为5/7。这与公式计算结果一致，任一条件概率都可这样解释。
类似地，利用这个解释，可得 。
[例1.1-13]表1.1-3给出了乌龟的寿命表，记事件ax=“乌龟能活到x岁”，从表中读出p(a20)=0.92，p(a80)=0.87等。现求下列事件的条件概率：
1) 已活到20岁的乌龟能活到80岁的概率是多少?
要求的概率是条件概率p(a80∣a20)，按公式应为
p(a80∣a20)=p(a20a80)/p(a20)
由于活到80岁的乌龟一定先活到20岁，这意味着a80 从而交事件
a20a80=a80故上述条件概率为：
p(a80∣a20)=p(a80)/p(a20)=0.87/0.92=0.95
即100只活到20岁的乌龟中大约有95只能活到80岁。
2) 已活到120岁的乌龟能活到200岁的概率是多少?
类似的
p(a200∣a120)=p(a120a200)/p(a120)=0.39/0.78=0.5
即活到120岁的乌龟中大约有一半还能活到200岁。
假如我们能获得弹药的贮存寿命，那么就可计算已存放10年的弹药再存放5年仍完好的概率。假如有一个国家的人的寿命表，就可处出30岁的人能活到60岁的概率是多少?保险公司正是利用条件概率对不同年龄的投保人计算人寿保险费率的。
来源:考试网-质量工程师考试
