2009年质量专业理论与实务辅导（2）

　[例1.1-5] 一批产品共有n个，其中不合格品有m个，现从中随机取出n个 ，

　问：事件am= "恰好有m个不合格品"的概率是多少?

　　从n个产品中随机抽取n个共有 个不同的样本点，它们组成这个问题的样本空间 。

　　其中“随机抽取”必导致这 个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词都可以作同样理解。下面

　　我们先计算事件a0、a1的概率，然后计算一般事件am的概率。

　　事件a0="恰好有0个不合格品"="全是合格品"，要使取出的n个产品全是合格品，那么必须从该批中n-m个合格品中抽取，这有 种取法。故事件a0的概率为:

　　事件a1="恰好有1个不合格品"，要使取出的n个产品只有一个不合格品，其他n-1个是合格品，可分二步来实现。第一步从m个不合格品中随机取出1个，共有 种取法;第二步从n-m个合格品中随机取出n-1个，共有 种取法。依据乘法原则，事件a1共含有 个样本点。故事件a1的概率为：

　　最后，事件am发生，必须从m个不合格品中随机抽取m个，而从n-m个合格品中随机抽取n-m个，依据乘法原则，事件am共含有 个样本点，故事件am的概率是:

　　其中r=min(n,m)为n, m中的较小的一个数，它是m的最大取值，这是因为m既不可能超过取出的产品数n, 也不可能超过不合格品总数m，因此 。

　　假如n=10.m=2和n=4，下面来计算诸事件am的概率:

　　而a3,a4等都是不可能事件，因为10个产品中只有2个不合格品，而要从中抽出3个或4个不合格品是不可能的，因而p(a3)=p(a4)=0 。

　　[例1.1-6](放回抽样)抽样有两种形式：不放回抽样与放回抽样。上例讨论的是不放回抽样，每次抽取一个，不放回，再抽取下一个，这相当于n个同时取出，因此可不论其次序。放回抽样是每次抽一个，将其放回，均匀混合后再抽下一个。这时要讲究先后次序，现对上例采取放回抽样方式讨论事件bm=“恰好有m个不合格品” 的概率。

　　从n个产品中每次随机抽取一个，检查后放回抽第二个，这样直到抽出第n个产品为止。由于每次都有n种可能，故在放回抽样的问题中共有nm个可能的样本点。

　　事件b0=“全是合格品”发生必须从n-m个合格品中用放回抽样的方式随机抽取n次，它共含有 (n-m)n种取法，故事件b0的概率为：

　　p(b0)=(n-m)n/nn=(1-m/n)n

　　事件b1=“恰好有一件不合格品”发生，必须从n-m个合格品中用放回抽样抽取n-1次，而从m个 不合格品中抽一次，这样就有m(n-m)n-1种取法，再考虑不合格品出现的顺序，故事件b1的概率为p(b1)=nm(n-m)n-1/nn

　　同样的可求bm的概率。