2009年质量专业理论与实务辅导（1）

　一、内容提要

　　2.概率的统计定义

　　3.概率的基本性质及加法法则

　　4.条件概率及概率的乘法法则

　　5.独立性和独立事件的概率

　　二、重点与难点

　　1.熟悉概率的古典定义及其简单计算

　　2.掌握概率的统计定义

　　3.掌握概率的基本性质

　　4.掌握事件的互不相容性和概率的加法法则

　　5.掌握事件的独立性、条件概率和概率的乘法法则

　　三、内容讲解

　　古典概率的定义与统计定义

　　确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。

　　(一) 概率的古典定义

　　用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下:

　　(1)所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点;

　　(2)每个样本点出现的可能性相同(等可能性);

　　(3)若被考察的事件a含有k个样本点，则事件a的概率为:

　　(1.1-1)

　　[例1.1-3] 掷两颗骰子，其样本点可用数组(x , y)表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:

　　它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。

　　(1) 定义事件a=“点数之和为2”={(1，1)}，它只含一个样本点，故p(a)=1/36。

　　(2) 定义事件b="点数之和为5"= ，它含有4个样本点，故p(b)=4/36=1/9。

　　(3) 定义事件c="点数之和超过9"= , 它含有6个样本点，故 p(c)=6/36=1/6。

　　(4) 定义事件d="点数之和大于3，而小于7"　= ， 它含有12个样本点，故它的概率p(d)=12/36=1/3。

　　[例1.1—4] 从标号为1，2，…,10的10个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：a:‘抽中2号’，　b:‘抽中奇数号’，　c:‘抽中的号数不小于7’。

　　解：显然 ，所以

　　(二)排列与组合

　　用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下:

　　排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。

　　(1)乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步m2种方法，…，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×mk种方法。

　　例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6条旅游线路。

　　(2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法，… ，在第k类方法中又有mk种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+…+mk种方法。

　　例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。

　　(3)排列与组合的定义及其计算公式如下:

　　①排列:从n个不同元素中任取 个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n-1) ×…×(n-r+1)个，记为 。若r=n,称为全排列，全排列数共有n!个，记为pn，即:

　　= n×(n-1) ×…×(n-r+1), pn= n!

　　②重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有 个。注意，这里的r允许大于n。

　　例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为 。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10×9×8×7=5040。

　　③组合: 从n个不同元素中任取 个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为：

　　特别的规定0!=1，因而 。另外，在组合中，r个元素"一个接一个取出"与"同时取出"是等同的。

　　例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为：

　　这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24种。而这24种排列在组合中只算一种。所以 。

　　注意:排列与组合都是计算 "从n个不同元素中任取r个元素"的取法总数公式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式;如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。