质量工程师概率的性质及其运算法则讲义（2）

二) 条件概率及概率的乘法法则

条件概率涉及两个事件A与B，在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率, 记为 。

为了帮助同学们理解，我们用图1.1—11来说明1.1-3式中各符号的含义： 是事件B的面积除以样本空间的面积， 是图中的阴影部分的面积除以样本空间的面积， 是阴影部分的面积除以事件B的面积。考试用书

注：① 时，条件概率无意义。(即条件不能是不可能事件)

② 。(即 是特殊的条件概率)

1.1—3式表明:条件概率可用两个特定的 (无条件) 概率之商来计算，在举例说明之前，先导出概率的乘法公式。

性质6：对任意两个事件A与B 有:

(1.1-4)

其中第一个等式要求P(B)>0，第二个等式要求P(A)>0。这一性质可以从图1.1—11中很容易看出。

[例1.1-9] 考虑有两个孩子的家庭： ，其中b表示男孩，g表示女孩。求：(1)家中有一个男孩和一个女孩的概率。(2)在有女孩的家庭中，有一个男孩的概率。

解：若事件A表示：家中至少有一个男孩，则P(A)= ;

若事件B表示：家中至少有一个女孩，则P(B)= ;

家中有一个男孩和一个女孩的概率为：

在有女孩的家庭中，有一个男孩的概率为：

[例1.1-10] 设某样本空间含有25个等可能的样本点，又设事件A含有其中15个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点，详见图1.1-11(书第23页)。由古典定义可知:

于是在事件B发生的条件下，事件A的条件概率为:

这个条件概率也可以这样来认识: 事件B发生，意味着其对立事件 再不会发生。因此 中18个样本点可不予考虑，可能的情况是事件B中的7个样本点之一。可见事件B的发生把原来的样本空间 缩减为新的样本空间 =B。这时事件A所含样本点在 中所占比率为5/7。这与公式计算结果一致，任一条件概率都可这样解释。

类似地，利用这个解释，可得 。