(3)正态标准差 的无偏估计也有两个，一个是对样本极差 进行修偏而得，另一个是对样本标准差s进行修偏而得，具体是：
其中 与 是只与样本量n有关的常数，其部分值列于表1.4-1，更详细的表参见第四章的表4.2-2。
表1.4-1 修偏系数 与 的数值表
当n=2时，上述两个无偏估计相同;当n≥3时，它们不同，但总有：
[例1.4-6] 把钢材弯曲成钢夹，其间隙大小是一个质量特性，现随机从生产线上取5只钢夹，测其间隙，得数据如下：
0.75 , 0.70 , 0.65 , 0.70 , 0.65
已知钢夹间隙X服从正态分布 ，要对 和 做出估计。
用样本均值 和样本方差 分别做出 与 的估计：
作为标准差 的估计选用 ，其值为：
也可选用：
在本例中两者相差不大。
二、区间估计
(一) 区间估计的概念
点估计仅仅给出参数一个具体的估计值，但是没有给出估计的精度，而区间估计是用一个区间来对未知参数进行估计，区间估计体现了估计的精度。
设 是总体的一个待估参数，其一切可能取值组成的参数空间为 ，记从总体中获得样本量为n的样本为 ，对给定的 ，确定两个统计量：
若对任意 ∈ 有P( ≤ ≤ )≥l- ，则称随机区间[ ， ]是 的置信水平为l- 的置信区间，简称[ ， ]是 的l- 的置信区间， 与 分别称为 的l- 的置信下限与置信上限。
置信区间的含义是：所构造的随机区间 覆盖(盖住)未知参数 的概率为 。由于这个随机区间随样本观测值的不同而不同，它有时覆盖了参数 ，有时没有覆盖 ，但是用这种方法做区间估计时，100次中大约有100( )个区间能覆盖未知参数 。图1.4-1中每一条竖线表示由一个样本量为4的样本按给定的 与 求得的一个区间。重复抽取100个样本，就得到100个这样的区间，在( )中，100个区间有51个包含(覆盖了)参数真值=50000，这对50%的置信区间来说是一个合理的偏离;在( )中，100个区间有90个包含参数真值=50000，这与90%的置信区间一致。
如果P( < )=P( > )= /2，则称这种置信区间为等尾置信区间。
下面着重讨论正态总体参数的置信区间及比例p的置信区间，它们都是等尾置信区间。
(二)正态总体参数的置信区间
设总体分布为 ，从中抽取的样本记为 ，样本均值为 ，样本方差为 ,样本标准差为s。
(1)总体均值 的置信区间的求法： 的估计一般用样本均值 ，从 的分布来构造置信区间。
当总体标准差 已知时，利用正态分布可得 的l- 置信区间为：
今后也记为 ，其中 是标准正态分布的 分位数。
当总体标准差 未知时， 用其估计s代替，利用t分布可以得到 的l- 置信区间为：
其中 表示自由度是n-l的t分布的 分位数。
(2)总体方差 与标准差 的置信区间的求法： 的估计常用样本方差 ，因此从 的分布来构造置信区间。
利用 (n-1)分布可以得到 的l- 置信区间为：
将上式两边开平方，可得 的l- 置信区间为：
以上讨论总结如下表1.4-2中，可供选用。
[例1.4-7] 某溶液中的甲醛浓度服从正态分布，从中抽取一个样本量为4的样本，求得 ，样本标准差为 ，分别求正态均值 及标准差 的95%的置信区间。
解：先求正态均值 的置信区间，由于 未知，故采用 分布来求。
， ，又 ， ，查附表1-4得 ，从而正态均值 的95%的置信区间为：
再求 的置信区间。由于 ， ，查附表1-5得： ， ，则正态标准差 的95%的置信区间为：
[例1.4-8] 设一个物体的重量 未知，为估计其重量，用天平去称，所得称重(测量值)与实际重量间是有误差的，因此所得的称重是一个随机变量，通常服从正态分布。如果已知称量的误差的标准差为0.1克(根据天平的精度给出)，为使 的95%的置信区间的长度不超过0.1，那么至少应该称多少次?
解：这是估计样本量的问题。在 已知时， 的95%的置信区间为：
其中 ，置信区间的长度是：
为使它不超过0.1，可解不等式 ，得 ，即至少应称16次。
来源:考试网-质量工程师考试
