质量资格辅导之概率的古典定义与统计定义(2)

　[例1.1-5] 一批产品共有N个，其中不合格品有M个，现从中随机取出n个

　　从N个产品中随机抽取n个共有 个不同的样本点，它们组成这个问题的样本空间 。

　　其中“随机抽取”必导致这 个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词都可以作同样理解。下面我们先计算事件A0、A1的概率，然后计算一般事件Am的概率。

　　事件A0="恰好有0个不合格品"="全是合格品"，要使取出的n个产品全是合格品，那么必须从该批中N-M个合格品中抽取，这有 种取法。故事件A0的概率为:

　　事件A1="恰好有1个不合格品"，要使取出的n个产品只有一个不合格品，其他n-1个是合格品，可分二步来实现。第一步从M个不合格品中随机取出1个，共有 种取法;第二步从N-M个合格品中随机取出n-1个，共有 种取法。依据乘法原则，事件A1共含有 个样本点。故事件A1的概率为：

　　最后，事件Am发生，必须从M个不合格品中随机抽取m个，而从N-M个合格品中随机抽取n-m个，依据乘法原则，事件Am共含有 个样本点，故事件Am的概率是:

　　其中r=min(n,M)为n, M中的较小的一个数，它是m的最大取值，这是因为m既不可能超过取出的产品数n, 也不可能超过不合格品总数M，因此 。

　　假如N=10.M=2和n=4，下面来计算诸事件Am的概率:

　　而A3,A4等都是不可能事件，因为10个产品中只有2个不合格品，而要从中抽出3个或4个不合格品是不可能的，因而P(A3)=P(A4)=0 。

　　[例1.1-6]见书中第18页[例1.1-5]。

　　(三) 概率的统计定义

　　概率的统计定义的要点如下：

　　(1)与事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的;

　　(2)若在n次重复试验中，事件A发生 次，则事件A发生的频率为:

　　(1.1-2)

　　频率 能反映事件A发生的可能性大小;

　　(3)频率 将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似表示概率。

　　[例1.1-7 ] 说明频率稳定的例子

　　(1)为了验证掷一枚均匀硬币出现正面的概率为0.5，许多人做了大量的重复试验，图1.1-10记录了前400次掷硬币试验中频率 的变化情况。在重复次数n较小时 波动剧烈，随着n的增大， 波动的幅度在逐渐变小。历史上有不少人做过更多次重复试验。其结果(见表1.1-1)表明，正面出现的频率逐渐稳定在0.5。这个0.5就是频率的稳定值，也是正面出现的概率，这与用古典方法计算的概率是相同的。

　　(2)在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类的英语书刊中字母出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定，其使用频率见表1.1-2。这项研究在计算机键盘设计 (在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造 (使用频率高的字母应多铸一些)、信息的编码 (使用频率高的字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是有用的。