2019年中考数学试卷
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.
(1)求AC、BC的长;
(2)设点P的运动时间为x(秒)，△PBQ的面积为y(cm2)，当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
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(3)当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由;
(4)当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由.
解：(1)设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：(4x)2+(3x)2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm;
(2)①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，
∴，∴QH=x，y=BP•QH=(10﹣x)•x=﹣x2+8x(0 ②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x， ∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC， ∴，即：，解得：QH′=(14﹣x)， ∴y=PB•QH′=(10﹣x)•(14﹣x)=x2﹣x+42(3 ∴y与x的函数关系式为：y=; (3)∵AP=x，AQ=14﹣x， ∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，即：， 解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴， ∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似; (4)存在. 理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， ∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16.∴△BCM的周长最小值为16. 2、(12分) 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M. (1)求证：△ADP∽△ABQ; (2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值; (3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。 解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90° ∵∠ABC+∠ABQ=180° ∴∠ABQ=∠ADP =90° ∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90° ∴∠QAB+ ∠BAP=90° 又∵∠PAD+∠BAP=90° ∴∠PAD=∠QAB 在△ADP与△ABQ中 ∵ ∴△ADP∽△ABQ (2)如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90° 又∵∠MQN=∠PQC ∴△MQN∽△PQC ∴ ∵点M是PQ的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵△ADP∽△ABQ ∴ ∴ ∵ ∴ 在Rt△MBN中，由勾股定理得： 即： 当即时，线段BM长的最小值. (3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10 由△ADP∽△ABQ得解得： ∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化， 当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为： 3、如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.(1)求抛物线的解析式; (2)若直线平分四边形的面积，求的值. (3)把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称?若存在，求出点坐标;若不存在，请说明理由. 答案：(1)因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以. 24.(14分)(2013•温州)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(6，0)，B(0.8)，点C的坐标为(0，m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作▱CDEF. (1)当0 (2)当m=3时，是否存在点D，使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上?若存在，求出点D的坐标;若不存在，请说明理由; (3)点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值. 解答： 解：(1)∵A(6，0)，B(0，8). ∴OA=6，OB=8. ∴AB=10， ∵∠CEB=∠AOB=90°， 又∵∠OBA=∠EBC， ∴△BCE∽△BAO， ∴=，即=， ∴CE=﹣m; (2)∵m=3， ∴BC=8﹣m=5，CE=﹣m=3. ∴BE=4， ∴AE=AB﹣BE=6. ∵点F落在y轴上(如图2). ∴DE∥BO， ∴△EDA∽△BOA， ∴=即=. ∴OD=， ∴点D的坐标为(，0). (3)取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G. 则CP=CE=﹣m. (Ⅰ)当m>0时， ①当0 ∴cos∠GCP=cos∠BAO=， ∴CG=CP•cos∠GCP=(﹣m)=﹣m. ∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+. 根据题意得，得：OG=CP， ∴m+=﹣m， 解得：m=; ②当m≥8时，OG>CP，显然不存在满足条件的m的值. (Ⅱ)当m=0时，即点C与原点O重合(如图4). (Ⅲ)当m<0时， ①当点E与点A重合时，(如图5)， 易证△COA∽△AOB， ∴=，即=， 解得：m=﹣. ②当点E与点A不重合时，(如图6). OG=OC﹣OG=﹣m﹣(﹣m) =﹣m﹣. 由题意得：OG=CP， ∴﹣m﹣=﹣m. 解得m=﹣. 综上所述，m的值是或0或﹣或﹣. 28、如图，过原点的直线l1：y=3x，l2：y=x.点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动.直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l1、l2于点A、B.设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y=﹣x+t.△AOB的面积为Sl(如图①).以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S2(如图②).连接PD并延长，交l1于点E，交l2于点F.设△PEA的面积为S3;(如图③) (1)Sl关于t的函数解析式为 _________ ;(2)直线OC的函数解析式为 _________ ; (3)S2关于t的函数解析式为 _________ ;(4)S3关于t的函数解析式为 _________ . 解：(1)由， 得， ∴A点坐标为(，) 由 得 ∴B点坐标为(，). ∴S1=S△AOP﹣S△BOP=t2(2)由(1)得，点C的坐标为(，). 设直线OC的解析式为y=kx，根据题意得=， ∴k=， ∴直线OC的解析式为y=x. (3)由(1)、(2)知，正方形ABCD的边长CB=t﹣=， ∴S2=CB2=()2=. (4)设直线PD的解析式为y=k1x+b，由(1)知，点D的坐标为(t，)， 将P(t，0)、D()代入得， 解得 ∴直线PD的解析式为y= 由， 得 ∴E点坐标为(，) ∴S3=S△EOP﹣S△AOP=t•t﹣t•t=t2. 25.(10分)(2013•天津)在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE=∠0BA. (Ⅰ)如图①，求点E的坐标; (Ⅱ)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′. ①设AA′=m，其中0 ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可). 考点： 相似形综合题.3718684 分析： (Ⅰ)根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1，所以E(0，1); (Ⅱ)如图②，连接EE′.在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则 A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是(1，1)时，A′B2+BE′2取得最小值. 解答： 解：(Ⅰ)如图①，∵点A(﹣2，0)，点B(0，4)， ∴OA=2，OB=4. ∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°， ∴△OAE∽△OBA， ∴=，即=， 解得，OE=1， ∴点E的坐标为(0，1); (Ⅱ)①如图②，连接EE′. 由题设知AA′=m(0 在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20. ∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的， ∴EE′∥AA′，且EE′=AA′. ∴∠BEE′=90°，EE′=m. 又BE=OB﹣OE=3， ∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9， ∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27. 当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是(1，1). ②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3. 易证△AB′A′≌△EBE′， ∴B′A=BE′， ∴A′B+BE′=A′B+B′A′. 当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值. 易证△AB′A′∽△OBA′， ∴==， ∴AA′=×2=， ∴EE′=AA′=， ∴点E′的坐标是(，1). 点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点.此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握. 17、(12分)(2013•雅安)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H. (1)求该抛物线的解析式; (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值; (3)如图(2)，若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S. ①求S与m的函数关系式; ②S是否存在最大值?若存在，求出最大值及此时点E的坐标; 若不存在，请说明理由. 解：(1)由题意可知： 解得： ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3; (2)∵△PBC的周长为：PB+PC+BC ∵BC是定值， ∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小， ∵点A、点B关于对称轴I对称， ∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点 ∵AP=BP ∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC ∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，3)， ∴AC=3，BC=; (3)①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为(﹣1，4) ∵A(﹣3，0) ∴直线AD的解析式为y=2x+6 ∵点E的横坐标为m， ∴E(m，2m+6)，F(m，﹣m2﹣2m+3) ∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣(2m+6) =﹣m2﹣4m﹣3 ∴S=S△DEF+S△AEF =EF•GH+EF•AC =EF•AH =(﹣m2﹣4m﹣3)×2 =﹣m2﹣4m﹣3; ②S=﹣m2﹣4m﹣3 =﹣(m+2)2+1; ∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1 此时点E的坐标为(﹣2，2). 16、(12分)(2013•南昌)已知抛物线yn=﹣(x﹣an)2+an(n为正整数，且0 (1)求a1，b1的值及抛物线y2的解析式; (2)抛物线y3的顶点坐标为( ， );依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为( ， );所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ; (3)探究下列结论： ①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An; ②是否存在经过点A(2，0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在，直接写出直线的表达式;若不存在，请说明理由. 解：(1)∵当n=1时，第1条抛物线y1=﹣(x﹣a1)2+a1与x轴的交点为A0(0，0)， ∴0=﹣(0﹣a1)2+a1，解得a1=1或a1=0. 由已知a1>0，∴a1=1， ∴y1=﹣(x﹣1)2+1. 令y1=0，即﹣(x﹣1)2+1=0，解得x=0或x=2， ∴A1(2，0)，b1=2. 由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=﹣(x﹣a2)2+a2经过点A1(2，0)， ∴0=﹣(2﹣a2)2+a2，解得a2=1或a2=4， ∵a1=1，且已知a2>a1， ∴a2=4， ∴y2=﹣(x﹣4)2+4. ∴a1=1，b1=2，y2=﹣(x﹣4)2+4. (2)抛物线y2=﹣(x﹣4)2+4，令y2=0，即﹣(x﹣4)2+4=0，解得x=2或x=6. ∵A1(2，0)， ∴A2(6，0). 由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=﹣(x﹣a3)2+a3经过点A2(6，0)， ∴0=﹣(6﹣a3)2+a3，解得a3=4或a3=9. ∵a2=4，且已知a3>a2， ∴a3=9， ∴y3=﹣(x﹣9)2+9. ∴y3的顶点坐标为(9，9). 由y1的顶点坐标(1，1)，y2的顶点坐标(4，4)，y3的顶点坐标(9，9)， 依此类推，yn的顶点坐标为(n2，n2). ∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标， ∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x. (3)①∵A0(0，0)，A1(2，0)， ∴A0A1=2. yn=﹣(x﹣n2)2+n2，令yn=0，即﹣(x﹣n2)2+n2=0， 解得x=n2+n或x=n2﹣n， ∴An﹣1(n2﹣n，0)，An(n2+n，0)，即An﹣1An=(n2+n)﹣(n2﹣n)=2n. ②存在. 设过点(2，0)的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=﹣2k， ∴y=kx﹣2k. 设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣(x﹣n2)2+n2交于E(x1，y1)，F(x2，y2)两点， 联立两式得：kx﹣2k=﹣(x﹣n2)2+n2，整理得：x2+(k﹣2n2)x+n4﹣n2﹣2k=0， ∴x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k. 过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x2﹣x1， FG=y2﹣y1=[﹣(x2﹣n2)2+n2]﹣[﹣(x1﹣n2)2+n2]=(x1+x2﹣2n2)(x1﹣x2)=k(x2﹣x1). 在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2， 即：EF2=(x2﹣x1)2+[k(x2﹣x1)]2=(k2+1)(x2﹣x1)2=(k2+1)[(x1+x2)2﹣4x1•x2]， 将x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k代入，整理得：EF2=(k2+1)[4n2•(1﹣k)+k2+8k]， 当k=1时，EF2=(1+1)(1+8)=9，∴EF=3为定值， ∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x﹣2. ∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x﹣2. 15.(2012义乌市)如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3，6). (1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度; (2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是，求出这个定值;如果不是，说明理由; (3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个? 解答：解：(1)把点A(3，6)代入y=kx 得; ∵6=3k， ∴k=2， ∴y=2x.(2012义乌市) OA=.…(3分) (2)是一个定值，理由如下： 如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H. ①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合， 此时; ②当QH与QM不重合时， ∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上， ∴∠MQH=∠GQN， 又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…(5分)， ∴， 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得. …(7分)①① (3)如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ∵∠AOD=∠BAE， ∴AF=OF， ∴OC=AC=OA= ∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC， ∴， ∴OF=， ∴点F(，0)， 设点B(x，)， 过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF， ∴， 即， 解得x1=6，x2=3(舍去)， ∴点B(6，2)， ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4， ∴AB=5 …(8分); (求AB也可采用下面的方法) 设直线AF为y=kx+b(k≠0)把点A(3，6)，点F(，0)代入得 k=，b=10， ∴， ∴， ∴(舍去)，， ∴B(6，2)， ∴AB=5…(8分) (其它方法求出AB的长酌情给分) 在△ABE与△OED中 ∵∠BAE=∠BED， ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB， ∴∠ABE=∠DEO， ∵∠BAE=∠EOD， ∴△ABE∽△OED.…(9分) 设OE=x，则AE=﹣x ()， 由△ABE∽△OED得， ∴ ∴()…(10分) ∴顶点为(，) 如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个; 当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个. ∴当时，E点只有1个…(11分) 当时，E点有2个…(12分). 已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。 (Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标; (Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围; (Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使B′D∥OB，求此时点C的坐标。 解：(Ⅰ)如图(1)，折叠后点B与点A重合，连接AC， 则△ACD≌△BCD， 设点C的坐标为(0，m)(m>0)， 则BC=OB-OC=4-m， 于是AC=BC=4-m， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2， 即(4-m)2=m2+22，解得m=， ∴点C的坐标为; (Ⅱ)如图(2)，折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2， ∴(4-y)2=y2+x2， 即， 由点B′在边OA上，有0≤x≤2， ∴解析式(0≤x≤2)为所求， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围为; (Ⅲ)如图(3)，折叠后点B落在OA边上的点为B′，连接B′C，B′D，B′D∥OB， 则∠OCB′=∠CB′D， 又∵∠CBD=∠CB′D， ∴∠CB′=∠CBD， ∴CB′∥BA， ∴Rt△COB′∽Rt△BOA， 有， 得OC=20B′， 在Rt△B′OC中，设OB′=x0(x0>0)，则OC=2x0， 由(Ⅱ)的结论，得2x0=， 解得x0=， ∵x0>0， ∴x0=， ∴点C的坐标为。 12、在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2.经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2. (1)求出该抛物线的解析式. (2)如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C.现在利用图2进行如下探究： ①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转.请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化?若发生变化，说明理由;若不发生变化，求出的值. ②设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形?若不存在，请说明理由. (1)∵抛物线y=mx2﹣x+n经过原点，∴n=0. ∵对称轴为直线x=2，∴﹣=2，解得m=. ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x. (2)①的值不变.理由如下： 如答图1所示，过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=AO=2. ∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF. 在Rt△PAE与Rt△PGF中， ∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°， ∴Rt△PAE∽Rt△PGF. ∴==. ②存在. 抛物线的解析式为：y=x2﹣x， 令y=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=4，∴D(4，0). 又y=x2﹣x=(x﹣2)2﹣1，∴顶点M坐标为(2，﹣1). 若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形： (I)FM=FD.如答图2所示： 过点M作MN⊥x轴于点N，则MN=1，ND=2，MD===. 设FM=FD=x，则NF=ND﹣FD=2﹣x. 在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2， 即：(2﹣x)2+1=x2，解得：x=， ∴FD=，OF=OD﹣FD=4﹣=， ∴F(，0); (II)若FD=DM.如答图3所示： 此时FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=4﹣. ∴F(4﹣，0); (III)若FM=MD. 由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合. 而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O. ∴此种情形不存在. 综上所述，存在点F(，0)或F(4﹣，0)，使△DMF为等腰三角形. 11、 请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题： (1)①当点C与点F重合时，如图2所示，可得的值为 ; ②在平移过程中，的值为 (用含x的代数式表示); (2)艾思轲同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变. 当点A落在线段DF上时，如图3所示，请你帮他补全图形，并计算的值; (3)艾思轲同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，，原题中的其他条件保持不变.请你计算的值(用含x的代数式表示). 11.解：(1)① 1. ………………………………………………………………………(2分) ②. ………………………………………………………………………(2分) (2)联结AE，补全图形如图1所示.…………………………………………(1分) ∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形， ∠ABC =∠DEF = 90°，AB = 1，DE = 2， ∴BC = 1，EF = 2，∠DFE =∠ACB = 45°. ∴，，∠EFB = 90°. ∴，∴点A为DF的中点.………………………(1分) ∴EA⊥DF，EA平分∠DEF. ∴∠MAE = 90°，∠AEF = 45°，. ∵∠MEB =∠AEF = 45°，∴∠MEA =∠BEF. ∴Rt△MAE∽Rt△BFE.……………………………………………………(1分) ∴，∴.……………………………………………(1分) ∴，∴.……………………(1分) (3)如图2，过点B作BE的垂线交直线EM于点G，联结AG. ∵∠EBG = 90°，∠BEM = 45°，∴∠BGE = 45°. ∴BE = BG.…………………………………………………………………(1分) ∵∠ABC =∠EBG = 90°，∴∠ABG =∠CBE.……………………………(1分) 又∵BA = BC，∴△ABG≌△CBE.………………………………………(1分) ∴AG = CE = x，∠AGB =∠CEB. ∵∠AGB +∠AGM =∠CEB +∠DEM = 45°， ∴∠AGM =∠DEM，∴AG∥DE.…………………………………………(1分) ∴.…………………………………………………………(1分) 注：第(3)小题直接写出结果不得分 10、如图，抛物线：y=ax2+bx+4与x轴交于点A(-2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标; 3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行.当点M原点时，点Q立刻掉头并以每秒3/2个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动.过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P.求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值. (1)、 ⑵ ⑶ 9、如图 (1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2). (1)问：始终与△AGC相似的三角形有( )及( ); (2)设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情况说明理由); (3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形? 解：(1)△HGA及△HAB; (2)由(1)可知△AGC∽△HAB ∴即=，所以，y= (3)当CG ∴AC ∴AG 此时，△AGH不可能是等腰三角形; 当CG=BC时，G为BC的中点，H与C重合， △AGH是等腰三角形; 此时，GC=，即x= 当CG>BC时， 由(1)可知△AGC∽△HGA， 所以，若△AGH是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9. 综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形. 8、如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴 交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC. (1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ; (2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在，请说明理由; (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个? 28.解：(1)A(0，4)，C(8，0).…………………………………………………………2分 (2)易得D(3，0)，CD=5.设直线AC对应的函数关系式为， 则 解得 ∴. ……………………………………3分 ①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3.∴DA=5，∴(0，4). ………………………4分 ②当ED=EC时，可得(，).……………5分 ③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD， 则△CEG ∽△CAO，∴. 即，，∴(，).……………………………………6分 综上，符合条件的点E有三个：(0，4)，(，)，(，). (3)如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q. 设P(m，)，则Q(，). ①当时， PQ=()()=， ，…………………………7分 ∴; ……………………………………………………………………………8分 ②当时， PQ=()()=， ， ∴.………………………………………………………………………………9分 故时，相应的点P有且只有两个.………………………………………………10分 7、如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B. (1)求抛物线的解析式 (2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的2倍; (3)点C在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点P，使以O、B、P、C为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出P的坐标;若不存在，说明理由。
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