一、选择题
1. (2014•山东烟台，第7题3分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为( )
A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4.5
考点：等腰梯形的性质，直角三角形中30°锐角的性质，梯形及三角形的中位线.
分析： 根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案.
解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC.
∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6.
∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF=BC= 6=3，
故选：B.
点评：本题考查了等腰梯形的性质，利用了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质.
2.(2014•湖南怀化，第5题，3分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是( )
A. △ABC≌△DCB B. △AOD≌△COB C. △ABO≌△DCO D. △ADB≌△DAC
考点： 等腰梯形的性质;全等三角形的判定.
分析： 由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易证得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC;继而可证得∠ABO=∠DCO，则可证得△ABO≌△DCO.
解答： 解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB(SAS);故正确;
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵BC>AD，
∴△AOD不全等于△COB;故错误;
C、∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO(AAS);故正确;
D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ADB和△DAC中，
，
∴△ADB≌△DAC(SAS)，故正确.
故选B.
点评： 此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
3. (2014•山东淄博,第7题4分)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC.则cos∠DPC的值是( )
A. B. C. D.
考点： 等腰梯形的性质.
分析： 先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数，进而得出结论.
解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
∴∠DPC=60°，
∴cos∠DPC=cos60°=.
故选A.
点评： 本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形同一底上的两个角相等是解答此题的关键.
4.(2014•浙江宁波，第8题4分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为( )
A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. ：
考点： 相似三角形的判定与性质.
分析： 先求出△CBA∽△ACD，求出 = ，COS∠ACB•COS∠DAC= ，得出△ABC与△DCA的面积比= .
解答： 解：∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△CBA∽△ACD
AB=2，DC=3，
∴COS∠ACB= = ，
COS∠DAC= =
∵△ABC与△DCA的面积比= ，
∴△ABC与△DCA的面积比= ，
故选：C.
点评： 本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比= .
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