-整数的整除性
1. 整数的整除性的有关概念、性质
(1) 整除的定义:对于两个整数a、d(d≠0),若存在一个整数p,使得 成立,则称d整除a,或a被d整除,记作d|a。
若d不能整除a,则记作d a,如2|6,4 6。
(2) 性质
1) 若b|a,则b|(-a),且对任意的非零整数m有bm|am
2) 若a|b,b|a,则|a|=|b|;
3) 若b|a,c|b,则c|a
4) 若b|ac,而(a,b)=1((a,b)=1表示a、b互质,则b|c;
5) 若b|ac,而b为质数,则b|a,或b|c;
6) 若c|a,c|b,则c|(ma+nb),其中m、n为任意整数(这一性质还可以推广到更多项的和)
例1 (1987年北京初二数学竞赛题)x,y,z均为整数,若11|(7x+2y-5z),求证:11|(3x-7y+12z)。
证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)
而 11|11(3x-2y+3z),
且 11|(7x+2y-5z),
∴ 11|4(3x-7y+12z)
又 (11,4)=1
∴ 11|(3x-7y+12z).
2.整除性问题的证明方法
(1) 利用数的整除性特征(见第二讲)
例2(1980年加拿大竞赛题)设72| 的值。
解72=8×9,且(8,9)=1,所以只需讨论8、9都整除 的值。
若8| ,则8| ,由除法可得b=2。
若9| ,则9|(a+6+7+9+2),得a=3。
(2)利用连续整数之积的性质
① 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积,因此一定可被2整除。
② 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数,所以它们之积一定可以被2整除,也可被3整除,所以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
例3(1956年北京竞赛题)证明: 对任何整数n都为整数,且用3除时余2。
证明 ∵ 为连续二整数的积,必可被2整除.
∴ 对任何整数n均为整数,
∵ 为整数,即原式为整数.
又∵ ,
2n、2n+1、2n+2为三个连续整数,其积必是3的倍数,而2与3互质,
∴ 是能被3整除的整数.
故 被3除时余2.
例4 一整数a若不能被2和3整除,则a2+23必能被24整除.
证明 ∵a2+23=(a2-1)+24,只需证a2-1可以被24整除即可.
∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),
则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).
∵k、k+1为二个连续整数,故k(k+1)必能被2整除,
∴8|4k(k+1),即8|(a2-1).
又∵(a-1),a,(a+1)为三个连续整数,其积必被3整除,即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1),
∵3 a,∴3|(a2-1).3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.