图4-3-22所示的悬臂梁，在自由端上挂一弹簧，弹簧上悬挂一重P的物体

简答题 图4-3-22所示的悬臂梁，在自由端上挂一弹簧，弹簧上悬挂一重P的物体。设在力P作用下弹簧的静伸长为δ，梁的自由端的静挠度为。如给重物一初速度v，试求重物的自由振动方程。梁和弹簧的质量均忽略不计。

参考答案：

悬臂梁对物体的作用相当于一弹簧，根据悬臂梁端点的静挠度可算出此梁在端点沿铅垂方向的刚性系数为 类似地，可算出悬挂弹簧的刚性系数为 于是，图4-3-22(a)所示振动系统可以抽象为图4-3-22(b)所示的串联弹簧系统。又因串联弹簧可用一等效弹簧来替代，其当量刚性系数为 最终该系统可简化为图4-3-22(c)所示的质量弹簧系统。现以此力学模型进行求解。 (1)对象。取重物为研究对象。 (2)运动分析：重物由于初始干扰，沿铅垂方向作自由振动。为了简便，选取重物的静平衡位置O为坐标原点，轴向下为正。t＝0时＝0，＝v。 (3)受力分析。通常，将重物放在轴正向的任一位置上进行受力分析。作用其上的力有重力P和弹性力F，力F在轴上的投影为 F＝-(+δ+) (4)列运动微分方程，并求解振动规律。由F＝ma得 　　　(a) 因重物处于静平衡位置时，重力P与静变形引起的弹性力F平衡，即有P-(+δ)＝0，故上式可简化为 　　　(b) 即　　　　　　(c) 式中　　　　　　(d) 由表4-3-10所示的公式，可知式(c)的通解为 ＝Asin(pt+α) 根据初始条件＝0，＝v，可分别求得振幅A及初位相α为 此重物的自由振动方程可表示为

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相关知识：四、理论力学