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设F(x)＝f(x)g(x)，其中函数f(x)

来源：焚题库 [2018-09-25] 【大中小】

类型：学习教育

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问答题

设F(x)＝f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件： f′(x)＝g(x)，g′(x)＝f(x)，且f(0)＝0，f(x)+g(x)＝2e。

(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；

(2)求出F(x)的表达式。

参考答案：

题目要求F(x)所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可。

(1)由F(x)＝f(x)g(x)，有 F′(x)＝f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＝g(x)+f(x) [f(x)g(x)]-2f(x)g(x)＝(2e)-2F(x) 可见F(x)所满足的一阶微分方程为 F′(x)+2F(x)＝4e 相应的初始条件为F(0)＝f(0)g(0)＝0

(2)由题(1)得到F(x)所满足的一阶微分方程，求F(x)的表达式只需解一阶微分方程，又一阶线性非齐次微分方程的通解为将F(0)代入上式，得C＝-1 所以F(x)＝e-e

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