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定比分点
对于有向线段P1P2 (P1 P2)，如果点P满足P1P＝ PP2（ －1），我们就称点P为有向线段P1P2的 分点.
说明：1 －1使得P1 P2；
2 >0，则P1P 与PP2同向，P为P1P2内部的点；
3 <0，则P1P 与PP2反向，P为P1P2外部的点：
且若 <－1，则P点在P2右侧；
若－1< <0，则P点在P1左侧.
例1. 已知点A(x1,y1,z1)、点B(x2,y2,z2)和实数λ≠-1,在直线AB上求点M,使AM=λMB.
解: AM=OM-OA , MB=OB-OM,
OM-OA=λ(OB-OM)
此为定比分点公式. 当λ=1时,为中点公式.
例1. 求证:以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解: |M1M2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;
|M1M3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6;
|M2M3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6
例2. 在z轴上求与两点A(-4,1,7)、B(3,5,-2)等距离的点.
解: 设所求点的坐标为 (0,0,z), 则有:
|MA|2=|MB|2 Þ
(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2, Þ z=19=4/9
所求点为: (0,0,14/9)
例3. 求点A(a,b,c)关于(1)各坐标轴;(2)各坐标面;(3)坐标原点的对称点的坐标.
解: (1) 关于x轴: (a,-b,-c);
关于y轴: (-a,b,-c);
关于z轴: (-a,-b,c);
(2) 关于xoy面: (a,b,-c);
关于xoz面: (a,-b,c);
关于yoz面: (-a,b,c);
(3) 关于坐标原点: (-a,-b,-c)