2018考研数学：数项级数的学习要点

　　级数部分知识的学习历来被认为是学习的难点，主要原因是本部分概念及方法都很抽象，不容易操作，面对题目比较茫然，不知该如何入手讨论。本文中，跨考教育数学教研室邵伟如老师将对数项部分知识进行梳理，为同学们提供一个可行的思路。

　　级数部分从大的方面来分的话主要考察数项级数及函数项级数，数项级数部分主要考察级数的敛散性，函数项级数部分涉及到求和及展开，数三的同学考察幂级数，数一的同学还考察傅里叶级数，数二的同学不考察级数。

　　数项级数，顾名思义就是级数的一般项为数，数项级数大体分为两类考察，一类是正项级数，一般项均为正数;一类是一般项级数，一般项是可正可负的数，其中特殊的是交错级数，一般项由正负交叉的数构成。每个类型的级数都有相应的判别敛散的方法。

　　正项级数是考察重点，数一、三的同学均以考察级数敛散的判别法为主，但出题的侧重点又有所区别，数三的同学以选择、填空小题为主，数一的同学除了考察小题以外，还会以判别法，主要是比较审敛法为主考察大题，总之，数一的同学要求更高一些。正项级数审敛法主要有：比较审敛法(常需要借助 级数)、比值审敛法(级数自身前后项相较，适用于一般项含阶乘的正项级数)及根值审敛法(级数自身前后项相较，适用于一般项含 次幂的正项级数)。总得来说，比较审敛法体现了借助已知敛散性的级数判别未知，比值及根值审敛法主要是自己的事情自己做，自力更生。

　　一般项级数判敛需要遵循一定的步骤进行。首先，计算一般项的极限，如果一般项的极限不为0，那么本级数必发散;如果一般项极限为0，只能说明级数有收敛的可能性，但不能立即判敛(反例：调和级数)，那么需要进一步判定，如何判定呢?需要将级数的一般项加绝对值，这样一个一般项级数就变为正项级数，即可由正项级数判敛的三个方法判敛，如果收敛，则此时级数收敛，且称为绝对收敛，如果发散，则需要去掉绝对值，看一般项级数本身的敛散性;如何判别一般项级数的敛散呢?此时有两个走向，一是看级数是否为交错级数，如果是交错级数，则用莱布尼兹条件判敛，收敛，则称级数为条件收敛;若虽是交错级数却不满足莱布尼兹条件，或级数是一般项级数但并非交错级数，那么一般需考虑定义法判敛，所谓定义法，就是先计算级数的前 项和，然后前 项和取极限，若极限存在，则级数收敛，若极限不存在，则级数发散。

　　当然，除了以上介绍的审敛法以外，我们还需熟练掌握级数的一些性质(比如：收敛+收敛=收敛、增加或去掉或改变级数的有限项不影响级数的敛散性等)来判别。希望同学们在学习过程中多注意这些性质的运用。