一级注册结构工程师基础考试高等数学知识点（14）

数量积的坐标表达式

设            a=a_xi+a_yj+a_zk ,             b= b_xi+b_yj+b_zk

则            a•b =(a_xi+a_yj+a_zk)•( b_xi+b_yj+b_zk)= a_x b_x+ a_yb_y+a_z b_z

从而 cosθ= =

例1.            已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB.

解:作MA,MB, ∠AMB为MA与MB的夹角

Þ      MA=(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0); MB=(2,1,2)-(1,1,1)=(1,0,1)

                MA•MB=1´1+1´0+0´1=1;

|MA|= ;     |MB|=

cos∠AMB=        Þ    ∠AMB=π/3.

例2.            已知a,b,c,两两垂直,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求s=a+b+c的长度与它和a,b,c的夹角.

解:   |s|²  =s • s=(a+b+c)•(a+b+c)

=a•a+b•b+c•c+2a•b+2b•c+2a•c

由于:       a•a=|a|²=1,     b•b=|b|²=4,     c•c=|c|²=9;

a•b=b•c=a•c=0

Þ    |s|²=14,           Þ           |s|=

cos(s•a)= = = =1/ .

Þ       (s^a)=arcos(1/ );

同理:       (s^b)= (s^c) =accos(1/ )

例3.            设a,b,c为单位向量,且满足a+b+c=0,求a•b+b•c+c•a.

解: (a+b+c)• a=a²+b•a+c•a=1+a•b+c•a;

(a+b+c)• b=a•b+b²+c•b=1+a•b+b•c;

(a+b+c)• c=a•c+b•c+c²=1+c•a+b•c;

三式相加:

Þ 3+2[a•b+b•c+c•a]= (a+b+c)• (a+b+c)=0

Þ a•b+b•c+c•a=-3/2.