两平面的夹角

1.       两平面的夹角:      两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).

设平面П₁和П₂的法线向量依次为:

               n₁=(A₁,B₁,C₁)  n₂=(A₂,B₂,C₂)

则平面П₁和П₂的夹角θ为(n₁^n₂)和π-(n₁^n₂)中的锐角,

        Þ    cosθ=|cos(n₁^n₂)|,

即有:

平面П1和П2垂直        Û   A1A2+B1B2+C1C1=0        平面П1和П2平行        Û   A1/A2=B1/B2=C1/C1

例1. 求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.

解:                 n₁=(1,-1,2)         n₂=(2,1,1)

Þ       cosθ= =

Þ       θ=π/3

例2. 一平面通过两点M₁(1,1,1)和M₂(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.

解:设所求平面的一个法向量为   n={A,B,C}.

由n⊥M₁M₂=(-1,0,-2)            Þ    -A-2C=0

由n⊥(1,1,1)                         Þ    A+B+C=0

Þ    A=-2C,B=C,

代入点法式方程:            A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0

消去C得所求方程为:

2x-y-z=0

点到平面的距离

例3.设P₀(x₀,y₀,z₀)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P₀到这平面的距离.

解:在平面上任取一点P₁(x₁,y₁,z₁),并作一法向量n={A,B,C}.

则所求距离:d=│Prj_nP₁P₀│.

又设e_n为与n方向一致的单位向量,

则有:        Prj_nP₁P₀= P₁P₀•e_n