题型一 与抽象函数有关的函数性质问题
例1 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件.
破题切入点 周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件.
答案 充要
解析 ①∵f(x)在R上是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称.
∵f(x)为[0,1]上的增函数，
∴f(x)为[-1,0]上的减函数.
又∵f(x)的周期为2，
∴f(x)为区间[-1+4,0+4]=[3,4]上的减函数.
②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，
∴f(x)为[-1,0]上的减函数.
又∵f(x)在R上是偶函数，
∴f(x)为[0,1]上的增函数.
由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
题型二 与抽象函数有关的函数零点问题
例2 设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0，则方程f(x)=0在闭区间[-2 011,2 011]上的根的个数为________.
破题切入点 将条件转化为我们所熟悉的知识.
答案 805
解析 f(7-x)=f(7+x)=f(2+(5+x))=f(2-(5+x))=f(-3-x)，
即f(x+10)=f(x)，所以函数的周期为10，
且对称轴为x=2，x=7，在[0,10]内，
f(1)=f(3)=f(11)=f(13)，
所以一个周期内只有2个零点，
在[0,2 011]内2 011=201×10+1有201×2+1=403个，
在[-2 011,0]内-2 011=201×(-10)-1，
有201个周期且f(-1)≠0，此时有201×2=402个零点，合计805.
题型三 与抽象函数有关的新概念问题
例3 设V是全体平面向量构成的集合.若映射f：V→R满足：
对任意向量a=(x1，y1)∈V，b=(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b)，
则称映射f具有性质P，
现给出如下映射：
①f1：V→R，f1(m)=x-y，m=(x，y)∈V;
②f2：V→R，f2(m)=x2+y，m=(x，y)∈V;
③f3：V→R，f3(m)=x+y+1，m=(x，y)∈V.
其中，具有性质P的映射为________.(写出所有具有性质P的映射的序号)
破题切入点 准确把握性质P的含义.
答案 ①③
解析 a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λa+(1-λ)b=(λx1+(1-λ)x2，λy1+(1-λ)y2).
对于①，∵f1(m)=x-y，
∴f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]-[λy1+(1-λ)·y2]=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)，
而λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)，
∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b)，
∴①具有性质P.
对于②，f2(m)=x2+y，设a=(0,0)，b=(1,2)，λa+(1-λ)b=(1-λ，2(1-λ))，f(λa+(1-λ)b)=(1-λ)2+2(1-λ)=λ2-4λ+3，
而λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(02+0)+(1-λ)(12+2)=3(1-λ)，
又λ是任意实数，
∴f(λa+(1-λ)b)≠λf(a)+(1-λ)f(b)，
故②不具有性质P.
对于③，f3(m)=x+y+1，
f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]+[λy1+(1-λ)y2]+1
=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1，
又λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)
=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+λ+(1-λ)
=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1，
∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b).
∴③具有性质P.
综上，具有性质P的映射的序号为①③.
总结提高 (1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质.
(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法.
1.设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2+x)=-2f(2-x)，已知f(-1)=4，那么f(-3)=________.
答案 -8
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(1)=f(-1)=4，f(-3)=f(3)，
当x=1时，f(2+1)=(-2)·f(2-1)，
∴f(3)=(-2)×4=-8，∴f(-3)=-8.
2.对于函数y=f(x)，x∈R，“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的________条件.
答案 必要不充分
解析 若函数y=f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x).此时|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|，因此y=|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y=|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出y=f(x)为奇函数，故“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要不充分条件.
3.若f(x)为奇函数，且在(-∞，0)内是增函数，又f(-2)=0，则xf(x)<0的解集为________.
答案 (-2,0)∪(0,2)
解析 因为f(x)为奇函数，且f(-2)=0，
所以f(2)=0.
作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：
当-20，
所以xf(x)<0;
当00)，其图象如图所示，则方程f(g(x))=0根的个数为________.
答案 6
解析 由f(x)的图象可知方程f(x)=0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f(g(x))=0，所以g(x)=x1，g(x)=x2或g(x)=x3，因为-aa>0，c>b>0.
(1)记集合M={(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________.
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是____________.(写出所有正确结论的序号)
①x∈(-∞，1)，f(x)>0;
②x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1,2)，使f(x)=0.
答案 (1){x|0a>0，c>b>0，a=b且a，b，c不能构成三角形的三边，
∴0<2a≤c，∴≥2.
令f(x)=0得2ax=cx，即x=2.
∴x=log2.∴=log2≥1.
∴0c.
∵c>a>0，c>b>0，∴0<<1,0<<1.
∴当x∈(-∞，1)时，
f(x)=ax+bx-cx=cx
>cx=cx·>0.
∴x∈(-∞，1)，f(x)>0.故①正确.
②令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形.
但a2=4，b2=9，c2=16却不能构成三角形，故②正确.
③∵c>a，c>b，且△ABC为钝角三角形，
∴a2+b2-c2<0，
又f(1)=a+b-c>0，f(2)=a2+b2-c2<0，
∴函数f(x)在(1,2)上存在零点，故③正确.
11.已知定义在区间(0，+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1，解不等式f(|x|)<-2.
解 (1)令x1=x2>0，
代入得f(1)=f(x1)-f(x2)=0，故f(1)=0.
(2)任取x1、x2∈(0，+∞)，且x1>x2，则>1.
∵当x>1时，f(x)<0.
∴f()<0，即f(x1)-f(x2)<0，有f(x1)9，∴x<-9或x>9，
∴不等式的解集为{x|x<-9或x>9}.
12.设集合Pn={1,2，…，n}，n∈N*，记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：
①APn;②若x∈A，则2xA;
③若x∈PnA，则2xPnA.
(1)求f(4);
(2)求f(n)的解析式(用n表示).
解 (1)当n=4时，符合条件的集合A为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)=4.
(2)任取偶数x∈Pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m·2k，其中m为奇数，k∈N*.
由条件知，若m∈A，则x∈Ak为偶数;
若mA，则x∈Ak为奇数.
于是x是否属于A由m是否属于A确定.
设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数.
当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，
所以f(n)=
