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2015届四川高考数学必会题型9

中华考试网  2015-04-27  【

  题型一 分段函数的值域问题

  例1 函数f(x)=的值域为________.

  破题切入点 求各段值域,然后求并集.

  答案 (-∞,2)

  解析 因为当x≥1时,f(x)=log2=-log2x≤0,

  当x<1时,02时,f(x)+b=0有四个根,满足题意,所以b<-2.

  题型三 分段函数的综合性问题

  例3 已知函数f(x)=是奇函数.

  (1)求实数m的值;

  (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.

  破题切入点 分段函数奇偶性的概念,结合图象分类讨论.

  解 (1)∵函数f(x)是奇函数,

  ∴f(-x)=-f(x).

  当x>0时,-x<0,有(-x)2-mx=-(-x2+2x),

  即x2-mx=x2-2x.

  ∴m=2.

  (2)由(1)知f(x)=

  当x>0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,

  ∴当x∈[1,+∞)时,f(x)单调递减;

  当x∈(0,1]时,f(x)单调递增.

  当x<0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,

  ∴当x∈(-∞,-1]时,f(x)单调递减;

  当x∈[-1,0)时,f(x)单调递增.

  综上知:函数f(x)在[-1,1]上单调递增.

  又函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增.

  ∴解之得11时,1-log2x≤2,解得x≥,

  所以x>1.综上可知x≥0.

  2.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是________.

  答案 (0,2]

  解析 由题意,得解得02;

  由x≥g(x)得x≥x2-2,∴-1≤x≤2.

  ∴f(x)=

  即f(x)=

  当x<-1时,f(x)>2;当x>2时,f(x)>8.

  ∴当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞).

  当-1≤x≤2时,-≤f(x)≤0.

  ∴当x∈[-1,2]时,函数的值域为[-,0].

  综上可知,f(x)的值域为[-,0]∪(2,+∞).

  4.已知f(x)= 则下列函数的图象错误的是________.

  答案 ④

  解析 先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象,再将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y=f(x-1)的图象,因此①正确;作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形,即可得到y=f(-x)的图象,因此②正确;y=f(x)的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象重合,③正确;y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当0≤x≤1时,y=f(|x|)=,相应这部分图象不是一条线段,因此④不正确.

  5.设函数f(x)=若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是________.

  答案 (-∞,-1)∪(0,1)

  解析 若m>0,则-m<0,f(m)==-log2m,f(-m)=log2m,由f(m)>f(-m),得-log2m>log2m,即log2m<0,00,f(-m)=log (-m)=-log2(-m),f(m)=log2(-m),由f(m)>f(-m)得log2(-m)>-log2(-m),解得m<-1.

  6.对实数a和b,定义运算“”:ab=设函数f(x)=(x2-2)(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是____________________.

  答案 (-∞,-2]∪(-1,-)

  解析 f(x)=

  即f(x)=

  f(x)的图象如图所示,由图象可知c的取值范围为

  (-∞,-2]∪(-1,-).

  7.已知函数f(x)=则f(-3)的值为________.

  答案 2

  解析 f(-3)=f(-1)+1=f(1)+2=2.

  8.已知函数f(x)=若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是________.

  答案 -13a2⇔6a+9>3a2,解得-10.

  因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥

  =1.

  (当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,

  即x1=-且x2=-时等号成立)

  所以,函数f(x)的图象在点A、B处的切线互相垂直时,有x2-x1≥1.

  (3)解 当x1x1>0时,

  f′(x1)≠f′(x2),

  故x1<00时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为

  y-ln x2=(x-x2),即y=·x+ln x2-1.

  两切线重合的充要条件是

  由①及x1<0h(2)=-ln 2-1,所以a>-ln 2-1.

  而当t∈(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大,

  所以a的取值范围是(-ln 2-1,+∞),

  故当函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合时,a的取值范围为(-ln 2-1,+∞).

  12.(2013·湖南)已知a>0,函数f(x)=.

  (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;

  (2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

  解 (1)当0≤x≤a时,f(x)=;

  当x>a时,f(x)=.

  因此,

  当x∈(0,a)时,f′(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减;

  当x∈(a,+∞)时,f′(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.

  ①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.

  ②若0

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