题型一 分段函数的值域问题
例1 函数f(x)=的值域为________.
破题切入点 求各段值域,然后求并集.
答案 (-∞,2)
解析 因为当x≥1时,f(x)=log2=-log2x≤0,
当x<1时,02时,f(x)+b=0有四个根,满足题意,所以b<-2.
题型三 分段函数的综合性问题
例3 已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
破题切入点 分段函数奇偶性的概念,结合图象分类讨论.
解 (1)∵函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
当x>0时,-x<0,有(-x)2-mx=-(-x2+2x),
即x2-mx=x2-2x.
∴m=2.
(2)由(1)知f(x)=
当x>0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,
∴当x∈[1,+∞)时,f(x)单调递减;
当x∈(0,1]时,f(x)单调递增.
当x<0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,
∴当x∈(-∞,-1]时,f(x)单调递减;
当x∈[-1,0)时,f(x)单调递增.
综上知:函数f(x)在[-1,1]上单调递增.
又函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增.
∴解之得11时,1-log2x≤2,解得x≥,
所以x>1.综上可知x≥0.
2.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是________.
答案 (0,2]
解析 由题意,得解得02;
由x≥g(x)得x≥x2-2,∴-1≤x≤2.
∴f(x)=
即f(x)=
当x<-1时,f(x)>2;当x>2时,f(x)>8.
∴当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞).
当-1≤x≤2时,-≤f(x)≤0.
∴当x∈[-1,2]时,函数的值域为[-,0].
综上可知,f(x)的值域为[-,0]∪(2,+∞).
4.已知f(x)= 则下列函数的图象错误的是________.
答案 ④
解析 先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象,再将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y=f(x-1)的图象,因此①正确;作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形,即可得到y=f(-x)的图象,因此②正确;y=f(x)的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象重合,③正确;y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当0≤x≤1时,y=f(|x|)=,相应这部分图象不是一条线段,因此④不正确.
5.设函数f(x)=若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,-1)∪(0,1)
解析 若m>0,则-m<0,f(m)==-log2m,f(-m)=log2m,由f(m)>f(-m),得-log2m>log2m,即log2m<0,00,f(-m)=log (-m)=-log2(-m),f(m)=log2(-m),由f(m)>f(-m)得log2(-m)>-log2(-m),解得m<-1.
6.对实数a和b,定义运算“”:ab=设函数f(x)=(x2-2)(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是____________________.
答案 (-∞,-2]∪(-1,-)
解析 f(x)=
即f(x)=
f(x)的图象如图所示,由图象可知c的取值范围为
(-∞,-2]∪(-1,-).
7.已知函数f(x)=则f(-3)的值为________.
答案 2
解析 f(-3)=f(-1)+1=f(1)+2=2.
8.已知函数f(x)=若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是________.
答案 -13a2⇔6a+9>3a2,解得-10.
因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥
=1.
(当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,
即x1=-且x2=-时等号成立)
所以,函数f(x)的图象在点A、B处的切线互相垂直时,有x2-x1≥1.
(3)解 当x1x1>0时,
f′(x1)≠f′(x2),
故x1<00时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为
y-ln x2=(x-x2),即y=·x+ln x2-1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1<0h(2)=-ln 2-1,所以a>-ln 2-1.
而当t∈(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大,
所以a的取值范围是(-ln 2-1,+∞),
故当函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合时,a的取值范围为(-ln 2-1,+∞).
12.(2013·湖南)已知a>0,函数f(x)=.
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解 (1)当0≤x≤a时,f(x)=;
当x>a时,f(x)=.
因此,
当x∈(0,a)时,f′(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.
①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.
②若0