题型一 指数函数的图象和性质
例1 已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，+∞)上是增函数，则m的取值范围是________.
破题切入点 判断函数t=|2x-m|的单调区间，结合函数y=2t的单调性，得m的不等式，求解即可.
答案 (-∞，4]
解析 令t=|2x-m|，则t=|2x-m|在区间[，+∞)上单调递增，在区间(-∞，]上单调递减.而y=2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2，+∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(-∞，4].故填(-∞，4].
题型二 对数函数的图象和性质
例2 已知f(x)=logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围是________.
破题切入点 要对字母a进行分类讨论.
答案 (0，]∪[3，+∞)
解析 ∵f(x)=logax，
当00，
当a>1时，|f()|-|f(2)|
=-loga-loga2
=-loga>0，
∴|f()|>|f(2)|总成立.
要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，
只需|f()|≤1，即-1≤loga≤1，
即logaa-1≤loga≤logaa，
亦当a>1时，得a-1≤≤a，即a≥3;
当00且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有________.
答案 01时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限.
∵y=ax+b-1的图象经过第二、三、四象限，
∴只可能0b>c
解析 因为a=log36=1+log32=1+，b=log510=1+log52=1+，c=log714=1+log72=1+，显然a>b>c.
3.若函数f(x)=logax(00
解析 当x>0时，f(x)=()x-log3x是减函数，
又x0是方程f(x)=0的根，即f(x0)=0.
∴当0f(x0)=0.
10.(2014·南京模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y=ln(ex+ey)，x，y∈R.当x*x=y时，x=.对任意实数a，b，c，给出如下命题：
①a*b=b*a;
②(a*b)+c=(a+c)*(b+c);
③(a*b)-c=(a-c)*(b-c);
④(a*b)*c=a*(b*c);
⑤≥.
其中正确的命题有________.(写出所有正确的命题序号)
答案 ①②③④⑤
解析 因为a*b=ln(ea+eb)，b*a=ln(eb+ea)，
所以a*b=b*a，即①对;
因为(a*b)+c=ln(ea+eb)+c=ln[(ea+eb)ec]
=ln(ea+c+eb+c)=(a+c)*(b+c)，所以②对;
只需令②中的c为-c，即有结论(a*b)-c=(a-c)*(b-c)，所以③对;
因为(a*b)*c=[ln(ea+eb)]*c=ln[+ec]
=ln(ea+eb+ec)，
a*(b*c)=a*[ln(eb+ec)]=ln[ea+]
=ln(ea+eb+ec)，
所以(a*b)*c=a*(b*c)，即④对;
设=x，则x*x=a*b，
所以ln(ex+ex)=ln(ea+eb)，
所以2×ex=ea+eb，
所以x=ln ，即=ln ≥ln =，故⑤对.
故正确的命题是①②③④⑤.
11.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1，b=-2时，求函数f(x)的零点;
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围.
解 (1)当a=1，b=-2时，f(x)=x2-2x-3，
令f(x)=0，得x=3或x=-1.
所以，函数f(x)的零点为3和-1.
(2)依题意，方程ax2+bx+b-1=0有两个不同实根.
所以，b2-4a(b-1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2-4ab+4a>0恒成立，
所以有(-4a)2-4(4a)<0⇒a2-a<0，所以00)，n为正整数，a，b为常数.曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x+y=1.
(1)求a，b的值;
(2)求函数f(x)的最大值.
解 (1)因为f(1)=b，由点(1，b)在x+y=1上，
可得1+b=1，即b=0.
因为f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn，所以f′(1)=-a.
又因为切线x+y=1的斜率为-1，
所以-a=-1，即a=1.故a=1，b=0.
(2)由(1)知，f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1，
f′(x)=(n+1)xn-1.
令f′(x)=0，解得x=，
在上，f′(x)>0，
故f(x)单调递增;
而在上，f′(x)<0，
故f(x)单调递减.
故f(x)在(0，+∞)上的最大值为
f=n·=.
