题型一 不等式组所确定的区域问题
例1 已知点M(x,y)的坐标满足不等式组则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是________.
破题切入点 先画出点M(x,y)的坐标满足的可行域,再研究图形的形状特征,以便求出其面积.
答案 1
解析 作出不等式组
表示的平面区域,
如图所示,则此平面区域为△ABC及其内部,且点A(2,0),B(0,1),C(2,1),于是,S=×2×1=1.
题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题
例2 若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值与最小值的和为________.
破题切入点 先根据已知约束条件画出可行域,再利用目标函数z=2x+y的几何意义,即可求得最大值与最小值.
答案 6
解析
画出可行域,如图所示,由图象,
可得当y=-2x+z经过点B(2,0)时,zmax=4;
当y=-2x+z经过点A(1,0)时,zmin=2.故填6.
题型三 利用线性规划求解实际应用题
例3 某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900人旅行,A,B两种客车的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为________元.
破题切入点 设租用A,B两种型号的客车分别为x辆,y辆,总租金为z元,可得目标函数z=1 600x+2 400y.结合题意,建立关于x,y的不等式组,计算A,B型号客车的人均租金,可得租用B型车的成本比A型车低,因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车,可使总租金最低.
答案 36 800
解析 设租用A,B两种型号的客车分别为x辆,y辆,
所用的总租金为z元,则z=1 600x+2 400y,
其中x,y满足不等式组(x,y∈N)
画出可行域,可知在x=5,y=12时,
可载客36×5+60×12=900(人),
符合要求且此时的总租金z=1 600×5+2 400×12=36 800,达到最小值.
题型四 简单线性规划与其他知识的综合性问题
例4 设变量x,y满足约束条件则lg(y+1)-lg x的取值范围为________.
破题切入点 先画出不等式组所确定的可行域,将目标函数化为lg ,利用数形结合的方法解t=的最值,然后确定目标函数的最值,从而求其范围.
答案 [0,1-2lg 2]
解析 如图所示,作出不等式组确定的可行域.
因为lg(y+1)-lg x
=lg ,设t=,
显然,t的几何意义是可行域内的点P(x,y)与定点E(0,-1)连线的斜率.
由图,可知点P在点B处时,t取得最小值;
点P在点C处时,t取得最大值.
由解得即B(3,2);
由解得即C(2,4).
故t的最小值为kBE==1,
t的最大值为kCE==,
所以t∈[1,].
又函数y=lg x为(0,+∞)上的增函数,
所以lg t∈[0,lg ],
即lg(y+1)-lg x的取值范围为[0,lg ].
而lg =lg 5-lg 2=1-2lg 2,
所以lg(y+1)-lg x的取值范围为[0,1-2lg 2].
总结提高 (1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础.
(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时,一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y=kx,再平移此直线.
(3)求解线性规划应用题的一般步骤:①设出未知数;②列出线性约束条件;③建立目标函数;④求出最优解;⑤转化为实际问题.
1.实数x,y满足则不等式组所围成图形的面积为________.
答案 1
解析 实数x,y满足
它表示的可行域如图所示.
不等式组所围成的图形是三角形,其三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,1),(2,1),
所以所围成图形的面积为×2×1=1.
2.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是________.
答案 [0,2]
解析 作出可行域,如图所示,由题意·=-x+y.
设z=-x+y,作l0:x-y=0,易知,过点(1,1)时z有最小值,zmin=-1+1=0;过点(0,2)时z有最大值,zmax=0+2=2,∴·的取值范围是[0,2].
3.若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=________.
答案 6
解析 画出可行域,如图阴影部分所示.
由z=2x+y,得y=-2x+z.
由得
∴A(-1,-1).
由得
∴B(2,-1).
当直线y=-2x+z经过点A时,zmin=2×(-1)-1=-3=n.当直线y=-2x+z经过点B时,zmax=2×2-1=3=m,故m-n=6.
4.设m>1,在约束条件下,目标函数z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为________.
答案 (1,1+)
解析
变形目标函数为y=-x+,由于m>1,所以-1<-<0,不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.根据目标函数的几何意义,只有直线y=-x+在y轴上的截距最大时,目标函数取得最大值.显然在点A处取得最大值,由得交点A,所以目标函数的最大值是+<2,即m2-2m-1<0,
解得1-0,所以d∈[1,).
6.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是________.
答案 (-∞,-)
解析 问题等价于直线x-2y=2与不等式组所表示的平面区域存在公共点,由于点(-m,m)不可能在第一和第三象限,而直线x-2y=2经过第一、三、四象限,则点(-m,m)只能在第四象限,可得m<0,不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,要使直线x-2y=2与阴影部分有公共点,则点(-m,m)在直线x-2y-2=0的下方,故-m-2m-2>0,即m<-.
7.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-4y的最大值为________.
答案 3
解析 如图所示,作出不等式组所表示的可行域,故当直线y=x-z在x轴上的截距取得最大值时,目标函数取得最大值.由图,可知当y=x-z经过点C时z取得最大值,由解得即C(5,3),故目标函数的最大值为z=3×5-4×3=3.
8.已知不等式组表示的平面区域为Ω,其中k≥0,则当Ω的面积取得最小值时,k的值为________.
答案 1
解析 依题意作图,如图所示,要使平面区域Ω的面积最小,即使S△OAD+S△OBC最小,又直线x+y+2=0与y轴的交点的坐标为A(0,-2),直线x+y+2=0与y=kx的交点的坐标为D(-,-),直线y=kx与x=1的交点的坐标为C(1,k),k≥0,
所以S△OAD+S△OBC=|OA|·|xD|+|OB|·|yC|=+·k=++-=+-≥2-=,当且仅当=时取等号,即k=1或k=-3(舍去).
所以满足条件的k的值为1.
9.4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元,而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24,则买3件A商品与9件B商品至少需要________元.
答案 22
解析 设1件A商品的价格为x元,1件B商品的价格为y元,买3件A商品与9件B商品需要z元,则z=3x+9y,其中x,y满足不等式组作出不等式组表示的平面区域,如图所示,其中A(0,4),B(0,8),C(,).
当y=-x+z经过点C时,目标函数z取得最小值.
所以zmin=3×+9×=22.
因此当1件A商品的价格为元,1件B商品的价格为元时,可使买3件A商品与9件B商品的费用最少,最少费用为22元.
10.设x,y满足约束条件若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为8,则a+b的最小值为________.
答案 4
解析 由z=abx+y,得y=-abx+z,所以直线的斜率为-ab<0,作出可行域,如图,由图象,可知当y=-abx+z经过点B时,z取得最大值.
由得
即B(1,4),代入z=abx+y=8,得ab+4=8,即ab=4,所以a+b≥2=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以a+b的最小值为4.
11.给定区域D:令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定________条不同的直线.
答案 6
解析 线性区域为图中阴影部分,取得最小值时点为(0,1),最大值时点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故共可确定6条.
12.(2014·盐城模拟)已知t是正实数,如果不等式组表示的区域内存在一个半径为1的圆,则t的最小值为________.
答案 2+2
解析 画出不等式组表示的平面区域,当t是正实数时,所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形.依题意,它有一个半径为1的内切圆,不妨设斜边|OB|=t,则两直角边长|AB|=|OA|=t,所以=1,求得t==2+2,即tmin=2+2.