题型一 利用基本不等式求解最大值、最小值问题
例1 (1)设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当取得最小值时，x+2y-z的最大值为________.
(2)函数y=的最大值为________.
破题切入点 (1)利用基本不等式确定取得最小值时x，y，z之间的关系，进而可求得x+2y-z的最大值.
(2)可采用换元法，将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值.
答案 (1)2 (2)
解析 (1)==+-3≥2-3=1，
当且仅当x=2y时等号成立，
因此z=4y2-6y2+4y2=2y2，
所以x+2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.
(2)令t= ≥0，则x=t2+1，
所以y==.
当t=0，即x=1时，y=0;
当t>0，即x>1时，y=，
因为t+≥2=4(当且仅当t=2时取等号)，
所以y=≤，
即y的最大值为(当t=2，即x=5时y取得最大值).
题型二 利用基本不等式求最值的综合性问题
例2 如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上.
(1)求曲线C的方程及t的值;
(2)记d=，求d的最大值.
破题切入点 (1)依条件，构建关于p，t的方程;
(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值.
解 (1)y2=2px(p>0)的准线x=-，
∴1-(-)=，p=，
∴抛物线C的方程为y2=x.
又点M(t,1)在曲线C上，∴t=1.
(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n=m，即点Q(m，m)，
依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，
设直线AB的斜率为k(k≠0).
且A(x1，y1)，B(x2.y2)，
由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2，
故k·2m=1，
所以直线AB的方程为y-m=(x-m)，
即x-2my+2m2-m=0.
由消去x，
整理得y2-2my+2m2-m=0，
所以Δ=4m-4m2>0，y1+y2=2m，y1y2=2m2-m.
从而|AB|= ·|y1-y2|
=·
=2
∴d==2≤m+(1-m)=1，
当且仅当m=1-m，即m=时，上式等号成立.
又m=满足Δ=4m-4m2>0，∴d的最大值为1.
总结提高 (1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点.在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值.
(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到.
1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a=0，∴v>a.
2.若函数f(x)=x+ (x>2)在x=a处取最小值，则a=________.
答案 3
解析 ∵x>2，∴f(x)=x+=x-2++2
≥2+2=4，
当且仅当x-2=，即x=3时等号成立，即a=3，f(x)min=4.
3.(2014·南通模拟)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值为________.
答案 4
解析 因为3a·3b=3，所以a+b=1.
+=(a+b)=2++
≥2+2 =4，当且仅当=，
即a=b=时等号成立.
4.已知m=a+(a>2)，n=x-2(x≥)，则m与n之间的大小关系为________.
答案 m≥n
解析 m=a+=(a-2)++2≥4(a>2)，
当且仅当a=3时，等号成立.由x≥得x2≥，
∴n=x-2=≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.
5.已知正数x，y满足x+2≤λ(x+y)恒成立，则实数λ的最小值为________.
答案 2
解析 ∵x>0，y>0，
∴x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号).
又由x+2≤λ(x+y)可得λ≥，
而≤=2，
∴当且仅当x=2y时，max=2.
∴λ的最小值为2.
6.已知a>0，b>0，若不等式--≤0恒成立，则m的最大值为________.
答案 16
解析 因为a>0，b>0，所以由--≤0恒成立得m≤(+)(3a+b)=10++恒成立.
因为+≥2 =6，
当且仅当a=b时等号成立，所以10++≥16，
所以m≤16，即m的最大值为16.
7.若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是________.
答案 18
解析 ∵x>0，y>0,2x+y+6=xy，
∴2+6≤xy，即xy-2-6≥0，
解得xy≥18.
∴xy的最小值是18.
8.已知a>0，b>0，函数f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________.
答案 16
解析 根据函数f(x)是偶函数可得ab-a-4b=0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab-a-4b=0，得ab=a+4b≥4，解得ab≥16(当且仅当a=8，b=2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.
9.若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.
答案
解析 ∵a≥=对任意x>0恒成立，设u=x++3，∴只需a≥恒成立即可.
∵x>0，∴u≥5(当且仅当x=1时取等号).
由u≥5知0<≤，∴a≥.
10.(1)已知0-1)的最小值.
解 (1)y=2x-5x2=x(2-5x)=·5x·(2-5x).
∵00，
∴5x(2-5x)≤()2=1，
∴y≤，当且仅当5x=2-5x，即x=时，ymax=.
(2)设x+1=t，则x=t-1(t>0)，
∴y=
=t++5≥2 +5=9.
当且仅当t=，即t=2，且此时x=1时，取等号，
∴ymin=9.
11.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2 (k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由.
解 (1)令y=0，得kx-(1+k2)x2=0，
由实际意义和题设条件知x>0，又k>0，
故x==≤=10，
当且仅当k=1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，
使3.2=ka-(1+k2)a2成立
关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根
判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥00
