题型一 函数与方程的转化
例1 设定义域为R的函数f(x)=则关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点的个数为________.
破题切入点 将函数的零点问题转化为对应方程根的问题.
答案 7
解析 由y=2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1，
如图画出f(x)的图象，由f(x)=知有4个根，
由f(x)=1知有3个根，故函数y=2f2(x)-3f(x)+1共有7个零点.
题型二 函数与不等式的转化
例2 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<-1或x>}，则f(10x)>0的解集为________.
破题切入点 由题意，可得f(10x)>0等价于-1<10x<，由指数函数的单调性即可求解.
答案 {x|x<-lg 2}
解析 由题意可知f(x)>0的解集为{x|-10等价于-1<10x<，
由指数函数的值域为(0，+∞)，知一定有10x>-1，
而10x<可化为10x<10，
即10x<10-lg 2.
由指数函数的单调性可知x<-lg 2.
题型三 方程与不等式的转化
例3 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围;
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围.
破题切入点 将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内，转化为不等式(组)进行求解.
解
(1)由条件，抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内，如右图所示，
得
即-0}，且A∩B=，则实数p的取值范围是________.
答案 (-4，+∞)
解析 当A=时，Δ=(p+2)2-4<0，
∴-4-4.
2.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为________.
答案 [1,2]
解析 ∵f(x)=(x-1)2+2，其对称轴为x=1，当x=1时，f(x)min=2，故m≥1，又∵f(0)=3，f(2)=3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2.
3.方程x2-x-m=0在x∈[-1,1]上有实根，则m的取值范围是________.
答案 [-，]
解析 m=x2-x=2-，x∈[-1,1].
当x=-1时，m取最大值为，
当x=时，m取最小值为-，∴-≤m≤.
4.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是________.
答案 (0,1)
解析
设t=f(x)，
则方程为t2-at=0，
解得t=0或t=a，
即f(x)=0或f(x)=a.
如图，作出函数f(x)的图象，
由函数图象，可知f(x)=0的解有两个，
故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的解，
则方程f(x)=a的解必有三个，此时00，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，
又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，
因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2.若f(x1)=x10，且有4-a>0，故00时，f(x)在[-1,1]上有零点的条件是 解得a>.
综上，实数a的取值范围为.
10.已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤时，f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0恒成立，则实数m的取值范围是________.
答案 (-，+∞)
解析 方法一 f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0f(cos2θ+2msin θ)-1-sin2θ.
当θ=时，2m·0>-2，此时m∈R;
当0≤θ<时，m>-，令t=1-sin θ，
则t∈(0,1]，此时m>-×=-(t+-2).
设φ(t)=-(t+-2)，
而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(-∞，-]，
故m>-.
方法二 同方法一，求得2m(1-sin θ)>-1-sin2θ，
设sin θ=t，则t2-2mt+2m+1>0对于t∈[0,1]恒成立.
设g(t)=t2-2mt+2m+1，其图象的对称轴方程为t=m.
①当m<0时，g(t)在[0,1]上单调递增，
从而g(0)=2m+1>0，即m>-，
又m<0，所以-0，即m2-2m-1<0，
所以1-1时，g(t)在[0,1]上单调递减，
从而g(1)=1-2m+2m+1=2>0恒成立，所以m>1.
综合①②③，可知m>-.
11.已知函数f(x)=2asin2x-2 asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域是，值域是[-5,1]，求常数a，b的值.
解 f(x)=2a·(1-cos 2x)- asin 2x+a+b
=-2a+2a+b
=-2asin+2a+b，
又∵0≤x≤，∴≤2x+≤π，
∴-≤sin≤1.
因此，由f(x)的值域为[-5,1]
可得
或
解得或
12.已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a，其中a∈R，且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值.
解 依题意，f(x)=g(x)，即ax2+ax=x-a，
整理得ax2+(a-1)x+a=0，①
∵a≠0，函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，
∴Δ>0，即Δ=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1
=(3a-1)(-a-1)>0，
∴-10，x1+x2=-.
设点O到直线g(x)=x-a的距离为d，
则d=，
∴S=|x1-x2|·
=
= .
∵-1
