12.设函数f(x)=(a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))
(s，t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为__________.
解析：由题意定义域D为不等式ax2+bx+c≥0的解集.∵ax2+bx+c=a(x+2a(b))2+4a(4ac-b2)，∵a<0，∴0≤y≤ 4a(4ac-b2)，∴所有点(s，f(t))，(s，t∈D)构成一个正方形区域，意味着方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2应满足|x1-x2|= 4a(4ac-b2)，由根与系数的关系知4a(4ac-b2)=a2(b2)-a(4c)=a2(b2-4ac)，∴4a=-a2.∵a<0，∴a=-4.答案：-4
13.已知函数f(x)=-x2+bx+c，x≤0.(-2+x，x>0，)若f(0)=-2f(-1)=1，则函数g(x)=f(x)+x的零点的个数为__________.
解析：∵f(0)=1，∴c=1.又f(-1)=-2(1)，∴-1-b+1=-2(1)，∴b=2(1).当x>0时，g(x)=-2+2x=0，∴x=1;当x≤0时，g(x)=-x2+2(1)x+1+x=0，∴x2-2(3)x-1=0，∴x=2(舍)或x=-2(1)，所以有两个零点.答案：2
14.设函数f(x)=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①c=0时，f(x)是奇函数;②b=0，c>0时，方程f(x)=0只有一个实根;③f(x)的图象关于(0，c)对称;④方程f(x)=0至多有两个实根.其中正确的命题是__________.
解析：c=0时，f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x)，故f(x)是奇函数;b=0，c>0时，f(x)=x|x|+c=0，∴x≥0时，x2+c=0无解，x<0时，f(x)=-x2+c=0，∴x=-，有一个实数根.答案：①②③
15.对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f(x)-g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间.若m(x)=x2-3x+4与n(x)=2x-3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________.
①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]
解析：|m(x)-n(x)|≤1⇒|x2-5x+7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x≤3，故在区间[2,3]上|m(x)-n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)-n(x)|≤1在[2,3]上恒成立.
答案：③
16.设函数f(x)=x2+2bx+c(c
(1)证明：-3
(2)若m是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m-4)的正负并加以证明.
解：(1)证明：f(1)=0⇒1+2b+c=0⇒b=-2(c+1).又c
(2) f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1)，f(m)=-1<0，
∴c0，
∴f(m-4)的符号为正.
17.设函数f(x)=ax2+bx+c，且f(1)=-2(a)，3a>2c>2b，求证：(1)a>0且-3
证明：(1)∵f(1)=a+b+c=-2(a)，∴3a+2b+2c=0.
又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c=-3a-2b，由3a>2c>2b，
∴3a>-3a-2b>2b.∵a>0，∴-3
(2)∵f(0)=c，f(2)=4a+2b+c=a-c，
①当c>0时，∵a>0，∴f(0)=c>0且f(1)=-2(a)<0，
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.
②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)=-2(a)<0且f(2)=a-c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点.
(3)∵x1、x2是函数f(x)的两个零点，则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，∴x1+x2=-a(b)，x1x2=a(c)=-2(3)-a(b)，∴|x1-x2|== a(b)= 2+2(b).∵-3
18.已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0，a、b∈R )，设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1、x2，方程f(x)=x的两实根为α、β.(1)若|α-β|=1，求a、b的关系式;(2)若a、b均为负整数，且|α-β|=1，求f(x)的解析式;(3)若α<1<β<2，求证：(x1+1)(x2+1)<7.
解：(1)由f(x)=x得ax2+3x+b=0(a<0，a、b∈R )有两个不等实根为α、β，
∴Δ=9-4ab>0，α+β=-a(3)，α·β=a(b).由|α-β|=1得(α-β)2=1，
即(α+β)2-4αβ=a2(9)-a(4b)=1，∴9-4ab=a2，即a2+4ab=9(a<0，a、b∈R ).
(2)由(1)得a(a+4b)=9，∵a、b均为负整数，
∴a+4b=-9(a=-1)或a+4b=-1(a=-9)或a+4b=-3，(a=-3，)显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有a+4b=-9，(a=-1，)∴b=-2.(a=-1，)
故所求函数解析式为f(x)=-x2+4x-2.
(3)证明：由已知得x1+x2=-a(4)，x1·x2=a(b)，又由α<1<β<2得α+β=-a(3)<3，α·β=a(b)<2，∴-a(1)<1，∴(x1+1)(x2+1)=x1·x2+(x1+x2)+1=a(b)-a(4)+1<2+4+1=7，
即(x1+1)(x2+1)<7.
