题型一、频率分布直方图的应用
例1：某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]。
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数。
分数段 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
破题切入点：
(1)根据样本频率之和为1，求出参数a的值。
(2)根据频率分布直方图和平均值的计算公式，求出样本平均值。
(3)由直方图可计算语文成绩在每分段上的频数，再根据语文和数学成绩在同一段上的人数比，便可计算数学成绩在[50,90)之间的人数，进而求解。
解：(1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1，解得a=0.005。
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73(分)。
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100=5,0.04×10×100=40,0.03×10×100=30,0.02×10×100=20。
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×=20,30×=40,20×=25。
故数学成绩在[50,90)之外的人数为
100-(5+20+40+25)=10。
题型二 茎叶图的应用
例2：从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)。设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则它们的大小关系分别为________。
破题切入点：由茎叶图观察求解比较两组数据的平均数和中位数。
答案：甲<乙，m甲s，故甲更稳定，故填甲。
总结提高：(1)众数、中位数、平均数的异同
①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量。
②平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，而中位数和众数都不具备此性质。
③众数考查各数据出现的频率，当一组数据中有不少数据多次出现时，众数往往更能反映问题。
④中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势。
(2)茎叶图刻画数据的优点
①所有数据信息都可以在茎叶图中看到。
②茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况。
(3)利用频率分布直方图估计样本的数字特征
①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值。
②平均数：平均数的频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
③众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标。
1.某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(kg)数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图(如图)。根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦。已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为________。
答案：1 000,0.60
解析：据题意，得第二小组的频率为1-(0.25+0.20+0.10+0.05)=0.40，
且其频数为400，设高三年级男生总数为n，
则有=0.40，∴n=1 000。
体重正常的学生所占的频率为第二和第三小组频率之和，
即0.20+0.40=0.60。
2.已知记录7名运动员选手身高(单位：cm)的茎叶图如图，其平均身高为177 cm，因有一名运动员的身高记录看不清楚，设其末位数为x，那么推断x的值为________。
答案：8
解析：据茎叶图可知=177，
解得x=8。
3.在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形。若中间一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形面积之和的，且样本容量为240，则中间一组的频数是________。
答案：40
解析：设中间小矩形的面积为S，则由题意知=，
解得S=，即频率为，
所以中间一组的频数为×240=40。
4.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________。
答案：2
解析：由题意知(a+0+1+2+3)=1，解得a=-1，
所以样本方差为s2=[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2。
5.(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________。
答案：12
解析：志愿者的总人数为=50，
所以第三组人数为50×0.36=18，
有疗效的人数为18-6=12。
6.在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2=2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________。
答案 160
解析 ∵小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，且a2=2a1，
∴样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，
∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=300，∴a1=20，
∴小长方形面积最大的一组的频数为8a1=160。
7.(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm。
答案：24
解析：底部周长在[80,90)的频率为0.015×10=0.15，
底部周长在[90,100)的频率为0.025×10=0.25，
样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15+0.25)×60=24。
8。如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别是________。
答案：18,23
解析：根据茎叶图分别将甲、乙得分按从小到大顺序排起来，根据中位数定义易知甲、乙中位数分别为18,23。
9.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)
品种：第1年、第2年、第3年、第4年、第5年：甲：9.8、9.9、10.1、10、10.2; 乙：9.4、10.3、10.8、9.7、9.8 其中产量比较稳定的小麦品种是________。
答案：甲
解析：甲=(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10.0，
乙=(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10.0;
s=(9.82+…+10.22)-102=0.02，
s=(9.42+…+9.82)-102=0.244>0.02。
10.为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________。
答案：48
解析：据频率分布直方图可得第四与第五小组的频率之和为5×(0.013+0.037)=0.25，故前三个小组的频率为1-0.25=0.75，第2小组的频率为0.75×=0.25，又其频数为12，故总人数为=48人。
11.(2014·北京)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号、分组、频数：1， [0,2)，6， 2 ，[2,4)，8 ，3， [4,6)，17，4 ，[6,8)，22，5， [8,10)，25，6，[10,12)，12，7，[12,14)，6，8，[14,16)，2，9，[16,18)，2 合计：100。
(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(2)求频率分布直方图中的a，b的值;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组。(只需写出结论)
解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10(名)，
所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-=0.9。
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9。
(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，
所以a=0.085。
课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，
所以b=0.125。
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组。
12.(2014·广东)某车间20名工人年龄数据如下表：
(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图;
(3)求这20名工人年龄的方差。
解：(1)这20名工人年龄的众数为30;这20名工人年龄的极差为40-19=21。
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：
(3)这20名工人年龄的平均数为：(19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40)÷20=30;
所以这20名工人年龄的方差为：
(30-19)2+(30-28)2+(30-29)2+(30-30)2+(30-31)2+(30-32)2+(30-40)2=12.6。
