一、选择题
1.若复数z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是纯虚数，其中m是实数，i2=-1，则等于( )
A. 1 B.- 1 C. 2 D.-2
答案：D 解题思路：因为复数z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i是纯虚数，所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0，所以m=0，则==-.
2.设复数z=-i·sin θ，其中i为虚数单位，θR，则|z|的取值范围是( )
A.[1，3 ] B.[-1，3]
C.[1， 2] D.[1，4 ]
答案：D 命题立意：本题考查复数的运算及三角最值的求解，难度中等.
解题思路：据已知得，原式=1-i-isin θ=1-(1+sin θ)i，故|z|=[1， ]，当sin θ=-1,1时分别取得最小值与最大值.
3.(呼和浩特第一次统考)已知a=(1,2)，b=(-2，m)，若a∥b，则|2a+3b|等于( )
A. B.4 C.3 D.2
答案：B 命题立意：本题考查向量的坐标运算，难度中等.
解题思路：由a∥bm+4=0，解得m=-4，故2a+3b=2(1,2)+3(-2，-4)=(-4，-8)，因此|2a+3b|==4.
4.已知向量a，b是夹角为60°的两个单位向量，向量a+λb(λR)与向量a-2b垂直，则实数λ的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.0
答案：D 命题立意：本题主要考查平面向量数量积的运算与平面向量垂直的坐标运算.
解题思路：由题意可知a·b=|a||b|cos 60°=，而(a+λb)(a-2b)，故(a+λb)·(a-2b)=0，即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0，从而可得1+-1-2λ=0，即λ=0.
5.已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心为O，则·=( )
A.- B.
C.- D.
答案：C 命题立意：本题以单位圆为依托，考查平面向量的数量积、平面向量的基本定理.
解题思路：由题意知，单位圆的弦AB所对的圆心角AOB=120°，故·=·(-)=·-2=1×1×cos 120°-1=-.故选C.
6.定义一种运算如下：=x1y2-x2y1，复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是( )
A.-1+(-1)i B.-1-(-1)i
C.+1+(+1)i D.+1-(+1)i
答案：B 命题立意：考查对新概念的理解及复数的运算，难度中等.
解题思路：由题意，得z=(+i)i-(-1)(-i)=-1+(-1)i， 共轭复数是-1-(-1)i，故选B.
易错点拨：注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.
7.在直角坐标系中，A(3,1)，B(-3，-3)，C(1,4)，P是和夹角平分线上的一点，且||=2，则的坐标是( )
A. B.(-，)
C. D.(-，1)
答案：A 命题立意：本题考查向量的线性运算与坐标运算，正确地表示出的线性表达式是解答本题的关键，难度中等.
解题思路：因为=(-6，-4)，=(-2,3)，由点P是角平分线上的一点，故=λ=λ=λ，即||2=λ2×=2λ2=4，解得λ=，故==，故选A.
8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且AP=.若=λ+μ(λ，μR)，则λ+μ的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案：B 命题立意：本题考查向量数量积的运算及均值不等式的应用，难度中等.
解题思路：据已知||2=(λ+μ)22=λ2+3μ2，整理变形得(λ+μ)2-2λμ=，据均值不等式可得(λ+μ)2-22≤，解得λ+μ≤，故选B.
9.已知ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P为边BC所在直线上的一个动点，则关于·(+)的值，正确的是( )
A.最大值为4 B.为定值2
C.最小值为1 D.与P的位置有关
答案：B 命题立意：本题考查向量的运算，难度中等.
解题思路：利用向量的运算法则求解.取BC的中点D，连接AD，则·(+)=2·=2||2=2，故选B.
举一反三：平面几何图形中的向量问题要充分应用图象的几何特征，一般解法有建系法和基底法两种.
10.对于单位向量a1，a2，“a1=”是“a1+a2=(，1)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案：B 命题立意：本题考查了平面向量的概念及坐标运算公式、充要条件的判断问题，属推理与分析能力考查题型，难度较大.
解题思路： a1，a2均为单位向量，若a1+a2=(，1)，则a1=a2=，反之，若a1=，则a1+a2=(，1)不一定成立，由此可得“a1=”是“a1+a2=(，1)”的必要不充分条件，故选B.
易错点拨：充要条件的判断需要通过命题的正反角度分别推理，正确判断两个命题的真假方可得出正确的结论.
二、填空题
11.已知向量a=(k，-2)，b=(2,2)，a+b为非零向量，若a(a+b)，则k=________.
答案：0 命题立意：本题考查向量的坐标运算与数量积，难度中等.
解题思路：依题意得a+b=(k+2,0)≠0，即k+2≠0，(a+b)·a=k(k+2)=0，因此k=0.
12.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上.若·=2，则·的值是________.
答案：6 命题立意：本题主要考查平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算能力.
解题思路：以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则由题意知A(0,2)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,2)，E(2,0)，设F(4，m)，其中0≤m≤2，则=(0，-2)，=(4，m-2).
·=2，
-2(m-2)=2， m=1，
F(4,1)，=(4,1).
又 =(2，-2)， ·=8-2=6.
13.在ABC中，B=60°，O为ABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且=x+y(x，yR)，则x+y的取值范围为________.
答案：[1,2] 命题立意：本题考查向量的数量积运算及均值不等式的应用，难度中等.
解题思路：据已知得2=x22+2xy·+y22，即1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy，x+y=，由P为劣弧AC上一动点知x≥0且y≥0(等号不能同时取得)，从而x+y≥1(x，y中恰有一个为0时取等号).又据均值不等式得x+y=≤(x>0，y>0)，解得0 14.设G为ABC的重心，若ABC所在平面内一点P满足+2+2=0，则的值等于________. 答案：2 命题立意：本题考查平面向量的线性运算及数形结合思想，难度中等. 解题思路：取BC的中点D，由已知+2+2=0得=2(+)=4，说明P，A，D三点共线，即点P在BC边的中线上，且||=4||，如图所示，故|A|=|A|，||=|A|，因此=×=2. 15.(东北四市二次联考)对于命题： 若O是线段AB上一点，则有||·+||·=0. 将它类比到平面的情形是： 若O是ABC内一点，则有SOBC·+SO CA·+SOBA·=0. 将它类比到空间的情况应该是： 若O是四面体ABCD内一点，则有_________________________. 答案：VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0 命题立意：本题考查了类比推理及推理证明问题，从平面到空间的类比推理是新课标高考中常见的类比推理题型的命题方式. 解题思路：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可类比为体积，由此可以类比得一命题为，若O是四面体ABCD内一点，则有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0. B组 一、选择题 1.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( ) A.3 B.-6 C.10 D.-15 答案：C 解题思路：由程序框图可知运行结束时S=-1+22-32+42=10. 2.如图所示的程序框图中，若f(x)=2x，g(x)=x2，则h(3)-3的值是( ) A.6 B.5 C.1 D.0 答案：A 解题思路：当x=3时，f(3)=23=8，g(3)=32=9，显然f(3) 3.已知an=n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ………………………… 记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)等于( ) A.92 B.93 C.94 D.112 答案：B 解题思路：由题意知第m-1行有2(m-1)-1个数，则前m-1行共有1+3+5+…+[2(m-1)-1]==(m-1)2个数，则A(10,12)=[(10-1)2+12]=93. 4.如图是“二分法”解方程x2-2=0的程序框图(在区间[a，b]上满足f(a)f(b)<0).那么在，处应填写的内容分别是( ) A.f(b)f(m)<0，a=m B.f(a)f(m)<0，m=a C.f(a)f(m)<0，a=m D.f(b)f(m)<0，b=m 答案：C 命题立意：本题考查了程序框图及二分法思想的应用，将二分法与算法两个新课标中的新知识点进行交汇，在高考命题中较为常见，难度中等. 解题思路：由程序框图可知，当满足判断框条件时，赋值给b，即得零点所在区间为(a，m)，因此判断框应当填入f(a)f(m)<0;而不满足判断框的条件时，应当赋值给a，即运算框应当填入a=m，故选C. 5.如图是计算函数y=的值的程序框图，则在，，处应分别填入的是( ) A.y=-x，y=0，y=x2 B.y=-x，y=x2，y=0 C.y=0，y=x2，y=-x D.y=0，y=-x，y=x2 答案：B 解题思路：由程序框图知处填y=-x，处填y=x2，处填y=0. 6.有编号为1,2，…，1 000的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是( ) 答案：B 解题思路：选项A，C中的程序框图输出的结果中含有0，故排除A，C;选项D中的程序框图不能输出7，排除D，应选B. 7.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦.若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2+b2=c2，称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O-ABC中，AOB=BOC=COA=90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( ) A.S2=S+S+S B.S2=++ C.S=S1+S2+S3 D.S=++ 答案：A 命题立意：本题主要考查类比推理.通过两种对象间的关系，得到所需的相似特征：平面中是边长之间的平方关系，立体中是面积间的平方关系. 解题思路：如图，作ODBC于D，连接AD，由立体几何知识知，ADBC，从而S2=2=BC2·AD2=BC2·(OA2+OD2)=(OB2+OC2)·OA2+BC2·OD2=2+2+2=S+S+S. 8.设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是( ) A.S=2，这5个数据的方差 B.S=2，这5个数据的平均数 C.S=10，这5个数据的方差 D.S=10，这5个数据的平均数 答案：A 命题立意：本题考查算法程序框图及样本数据方差的计算，难度较小. 解题思路：据已知数据可得其均值==20，而输出S=[(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x5-20)2]=2，S的统计意义是此5个数据的方差，故选A. 9. 执行如图所示的程序框图，若输出S的值等于16，那么在判断框内应填写的条件是( ) A.i>5 B.i>6 C.i>7 D.i>8 答案：A 命题立意：本题主要考查程序框图的填充，解决程序框图题的一般方法是写出每一次循环的结果，分析变量的变化情况. 解题思路：由程序框图条件，循环结果依次为： S=1+1=2，i=2，不满足条件，继续循环; S=2+2=4，i=3，不满足条件，继续循环; S=4+3=7，i=4，不满足条件，继续循环; S=7+4=11，i=5，不满足条件，继续循环; S=11+5=16，i=6，此时满足条件，跳出循环，输出S=16，i=6满足i≥6或i>5，选A. 10.(长春模拟)一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●….若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中●的个数是( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案：C 命题立意：本题考查了等差数列的通项、前n项和公式及推理判断能力，难度中等. 解题思路：据题意，以每一个黑圈为界构成等差数列a1=2，a2=3，a3=4，首项a1=2，公差d=1，所以Sn=2n+.当n=14时，S14=28+91=119，所以前120个圈中●的个数是14. 二、填空题 11.已知如下等式： 3-4=(32-42)， 32-3×4+42=(33+43)， 33-32×4+3×42-43=(34-44)， 34-33×4+32×42-3×43+44=(35+45)， 则由上述等式可归纳得到3n-3n-1×4+3n-2×42-…+(-1)n4n=________(nN*). 答案：[3n+1-(-4)n+1] 命题立意：本题考查归纳推理，难度中等. 解题思路：利用所给等式归纳即可.根据所给等式从指数、符号等方面归纳得3n-3n-1×4+3n-2×42-…+(-1)n4n=[3n+1-(-4)n+1]. 12.设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1,2,3，…，计算得a1=，a2=，a3=，…，由以上规律，Sn=________. 答案： 解题思路：可得S1=a1=，S2=+=，S3=a1+a2+a3=，…，归纳得出Sn=. 13.观察下列算式： 13=1， 23=3+5， 33=7+9+11， 43=13+15+17+19， …… 若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m=________. 答案：45 命题立意：本题主要考查考生分析问题、解决问题以及归纳推理的能力，解决此类问题时，要注意分析题目给定的信息，找到题目满足的规律. 解题思路：某数m3按上述规律展开后，则等式右边为m个连续奇数的和，且每行的最后一个数为1=12+0,5=22+1,11=32+2,19=42+3，…，所以m3的最后一个数为m2+(m-1).因为当m=44时，m2+(m-1)=1 979，当m=45时，m2+(m-1)=2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m=45. 14.执行图中程序框图表示的算法，则输出的结果s为________. 答案：341 命题立意：本题考查程序框图、算法的基本逻辑结构知识，考查学生的识图能力、计算能力，难度中等. 解题思路：程序框图中的循环结构执行的功能是求和，按部就班的求解即可.第一次：s=s+t·2n=0+1·20=1,0<8，故n=n+1=1，t=1-t=0;第二次：s=s+t·2n=1+0·21=1,1<8，故n=n+1=2，t=1-t=1;第三次：s+t·2n=1+1·22=5,2<8，故n=2+1=3，t=1-t=0;第四次：s=5+0·23=5,3<8，故n=3+1=4，t=1-t=1;第五次：s=5+1·24=21,4<8，故n=4+1=5，t=1-t=0;第六次：s=21+0·25=21,5<8，n=5+1=6，t=1-t=1;第七次：s=21+1·26=85,6<8，n=6+1=7，t=1-1=0;第八次：s=85+0·27=85,7<8，n=7+1=8，t=1-0=1;第九次：s=85+1·28=341,8=8，n=8+1=9，t=1-1=0;第十次：s=341+0·29=341,9>8，输出s=341. 15.执行如图所示的程序框图，输出的结果为________. 答案：1 022 命题立意：本题考查程序框图的意义，难度中等. 解题思路：在执行题中的程序框图的过程中，n的值分别是3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23(共进行了11次循环)，x的值分别是2,22,23,24,25,26,27,28,29,210,211，因此最后输出的y的值是-2=1 022.
