一、选择题
1.已知=，则tan α+=( )
A.-8 B.8
C.1 D.-1
答案：A 解题思路：
=
=cos α-sin α=，
1-2sin αcos α=，即sin αcos α=-.
则tan α+=+===-8.故选A.
2.在ABC中，若tan Atan B=tan A+tan B+1，则cos C的值为( )
A.-1/2 B.1/3
C. 1/2D.-1
答案：B 解题思路：由tan Atan B=tan A+tan B+1，可得=-1，即tan(A+B)=-1，又因为A+B(0，π)，所以A+B=，则C=，cos C=.
3.已知曲线y=2sincos与直线y=相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则||等于( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
答案：B 命题立意：本题考查三角恒等变换及向量的坐标运算，难度较小.
解题思路：由于f(x)=2sin2=2×=1+sin 2x，据题意，令1+sin 2x=，解得2x=2kπ-或2x=2kπ-(kZ)，即x=kπ-或x=kπ-(kZ)，故P1，P5，因此||==2π.
4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若acos B+bcos A=csin C，S=(b2+c2-a2)，则B等于( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
答案：C 解题思路：由正弦定理和已知条件知sin Acos B+sin Bcos A=sin2C，即sin(A+B)=sin2C， sin C=1，C=，从而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2)，解得a=b，因此B=45°.
5.已知=k,0<θ<，则sin的值( )
A.随着k的增大而增大
B.有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小
C.随着k的增大而减小
D.是一个与k无关的常数
答案：A 解题思路：k==
=2sin θcos θ=sin 2θ，因为0<θ<，所以sin=-=-=-为增函数，所以sin的值随着k的增大而增大.
6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2-cos 2C=，且a+b=5，c=，则ABC的面积为( )
A.3 B.3
C.-1/2 D.1/2
答案：A 命题立意：本题主要考查余弦定理及三角形面积的求解，意在考查考生对余弦定理的理解和应用能力.
解题思路： 4sin2-cos 2C=，
2[1-cos(A+B)]-2cos2C+1=，
2+2cos C-2cos2C+1=，
cos2C-cos C+=0，解得cos C=，
故sin C=.根据余弦定理有
cos C==，ab=a2+b2-7，
3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18，ab=6，
S=absin C=×6×=.
二、填空题
7.若sin=，则sin 2α=__________.
答案：- 解题思路：sin 2α=-cos=-cos=2sin2-1=2×2-1=-.
8.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边且a=2csin A，c=，ABC的面积为，则a+b=________.
答案：5 命题立意：本题考查解三角形的基本知识，包括三角形面积公式、正弦定理、余弦定理等，考查考生对知识的整合能力.
解题思路：由a=2csin A及正弦定理得==， sin A≠0， sin C=.
ABC是锐角三角形， C=，
S△ABC=ab·sin =，即ab=6， c=，由余弦定理得a2+b2-2abcos =7，即a2+b2-ab=7，解得(a+b)2=25，故a+b=5.
9.有这样一道题：“在ABC中，已知a=，________，2cos2=(-1)cos B，求角A.”已知该题的答案是A=60°，若横线处的条件为三角形中某一边的长度，则此条件应为________.
答案：c= 解题思路：由2cos2=(-1)cos B得1-cos B=(-1)cos B，即cos B=，所以B=45°，则C=180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得=，所以c=.
10.已知ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若1+=，则的最小值为________.
答案：1 解题思路：因为A，B，C为ABC中的角，角A，B，C所对边分别为a，b，c，又1+===，
由正弦定理得=，所以1+=，而1+=，所以cos A=，又A为ABC中的内角，所以A=.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bc×≥2bc-bc=bc.(当且仅当b=c时取“=”)所以的最小值为1.
三、解答题
11.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获走私船(在D点)，
则CD=10t海里，BD=10t海里.
在ABC中，由余弦定理 ，得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A
=(-1)2+22-2(-1)·2·cos 120°=6，
BC=(海里).
由正弦定理知=，
sin ∠ABC===，
ABC=45°， B点在C点的正东方向上，
CBD=90°+30°=120°.
在BCD中，由正弦定理，得
=，
sin ∠BCD=
==，
BCD=30°， 缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，
D=30°，
BD=BC，即10t=，
t=小时≈15分钟.
故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
12.已知向量m=sin(A-B)，sin，n=(1,2sin B)，m·n=sin 2C，其中A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A+sin B=2sin C，且SABC=，求边c的长.
解析：(1) m·n=sin(A-B)+2cos Asin B
=sin Acos B+cos Acos B=sin(A+B)，
在ABC中，A+B=π-C且0 sin(A+B)=sin C， 又 m·n=sin 2C， sin C=sin 2C=2cos Csin C， cos C=， C=. (2) sin A+sin B=2sin C， 由正弦定理得a+b=2c， SABC=absin C=ab=，得ab=4， 由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos C =(a+b)2-3ab=4c2-12， c=2. 13.在ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，已知b2+c2=a2+bc. (1)求角A的大小; (2)若2sin2+2sin2=1，试判断ABC的形状. 解析：(1)b2+c2=a2+bc， 所以cos A===， 又A(0，π)，得到A=. (2) 2sin2+2sin2=1， 1-cos B+1-cos C=1， cos B+cos C=1， 即cos B+cos=1，得到 sin=1， 0 B+=， B=，ABC为等边三角形. 14.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2-cos 2A=. (1)求A的度数; (2)若a=，b+c=3，求b，c的值. 解析：(1) B+C=π-A，即=-， 由4sin2-cos 2A=， 得4cos2-cos 2A=， 即2(1+cos A)-(2cos2A-1)=， 整理得4cos2A-4cos A+1=0， 即(2cos A-1)2=0. cos A=，又0° (2)由A=60°，根据余弦定理cos A=，得=， b2+c2-bc=3， 又b+c=3， ∴ b2+c2+2bc=9. ①-得bc=2. 解得或
