一、选择题
1.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1=b1，a4=b4，a10=b10，则a1和d的值分别为( )
A.1 B.-2
C.2 D.-1
答案：D 解题思路：由得由两式得a1=，代入式中，+3d=·d3，化简得d9-3d3+2=0，
即(d3-1)(d6+d3-2)=0，
d≠1，由d6+d3-2=0，得d=-，a1=-d=.
2.已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an，nN*，且a5=.若函数f(x)=sin 2x+2cos2，记yn=f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
A.0 B.-9
C.9 D.1
答案：C 命题立意：本题考查等差数列的定义与性质及诱导公式的应用，考查综合分析能力，难度中等.
解题思路：据已知得2an+1=an+an+2，即数列{an}为等差数列，又f(x)=sin 2x+2×=sin 2x+1+cos x，因为a1+a9=a2+a8=…=2a5=π，故cos a1+cos a9=cos a2+cos a8=…=cos a5=0，又2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π，故sin 2a1+sin 2a9=sin 2a2+sin 2a8=…=sin 2a5=0，故数列{yn}的前9项之和为9，故选C.
3.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2)，a1=1，a2=3，记Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是( )
A.a100=-1，S100=5 B.a100=-3，S100=5
C.a100=-3，S100=2 D.a100=-1，S100=2
答案：A 命题立意：本题考查数列的性质与求和，难度中等.
解题思路：依题意，得an+2=an+1-an=-an-1，即an+3=-an，an+6=-an+3=an，数列{an}的项是以6为周期重复性地出现，且a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=0;注意到100=6×16+4，因此S100=16×0+a1+a2+a3+a4=(a1+a4)+a2+a3=a2+(a2-a1)=2a2-a1=5，a100=a4=-a1=-1，故选A.
4.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则(nN*)的最小值为( )
A.4 B.3
C.2-2 D.
答案：A 命题立意：本题考查等差数列的通项公式与求和公式以及均值不等式的应用，难度中等.
解题思路：据题意由a1，a3，a13成等比数列可得(1+2d)2=1+12d，解得d=2，故an=2n-1，Sn=n2，因此====(n+1)+-2，根据均值不等式，知=(n+1)+-2≥2-2=4，当n=2时取得最小值4，故选A.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若-am A.Sm>0，且Sm+1<0 B.Sm<0，且Sm+1>0 C.Sm>0，且Sm+1>0 D.Sm<0，且Sm+1<0 答案：A 命题立意：本题考查等差数列的性质及前n项和公式的应用，难度中等. 解题思路：据已知可得a1+am>0，a1+am+1<0，又Sm=>0，Sm+1=<0，故选A. 6.在数列{an}中，an+1=can(c为非零常数)，前n项和为Sn=3n+k，则实数k为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案：A 命题立意：本题考查等比数列的定义、数列的前n项和公式与通项间的关系，难度中等. 解题思路：依题意得，数列{an}是等比数列，a1=3+k，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=18,62=18(3+k)，解得k=-1，故选A. 二、填空题 7.已知数列{an}的首项为2，数列{bn}为等差数列且bn=an+1-an(nN*).若b2=-2，b7=8，则a8=________. 答案：16 解题思路： {bn}为等差数列，且b2=-2，b7=8，设其公差为d， b7-b2=5d，即8+2=5d. d=2. bn=-2+(n-2)×2=2n-6. an+1-an=2n-6. 由a2-a1=2×1-6，a3-a2=2×2-6，…，an-an-1=2×(n-1)-6，累加得：an-a1=2×(1+2+…+n-1)-6(n-1)=n2-7n+6， an=n2-7n+8. a8=16. 8.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4=________. 答案：22 命题立意：本题考查等差与等比数列的定义与通项公式的应用，难度中等. 解题思路：据题意知等差数列的a1，a2，a6成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1+d)2=a1(a1+5d)， 解得d=3a1，故a2=4a1，a6=16a1ak4=64a1=a1+(k4-1)(3a1)，解得k4=22. 9.已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则的最小值为________. 答案： 命题立意：本题主要考查累加法，难度中等. 解题思路：因为a1=33，an+1-an=2n，故利用累加法表示.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1，那么可知==n+-1，借助于函数的性质可知当n=6时，取得最小值为. 10.已知数列{an}满足a1=1，an=(n≥2)，则数列{an}的通项公式为an=________. 答案： 命题立意：本题主要考查等差数列的定义与通项公式等知识，意在考查考生的观察能力、化归与转化能力、运算能力. 解题思路：依题意，得-=(n≥2)，因此数列是以1为首项、为公差的等差数列，于是有=1+(n-1)，an=. 三、解答题 11.已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S，S，…，S，…是以3为首项，以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90. (1)求an，bn; (2)从数列中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于?若能的话，请写出这个数列的第一项和公比;若不能的话，请说明理由. 解析：(1){S}是以3为首项，以1为公差的等差数列， 所以S=3+(n-1)=n+2. 因为an>0，所以Sn=(nN*). 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-， 又a1=S1=， 所以an=(nN*). 设{bn}的首项为b1，公比为q，则有 所以即bn=3n(nN*). (2)=n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}， 首项为c1=p，公比为k(p，kN*)，它的各项和等于=，则有=， 所以p=. 当p≥k时，3p-3p-k=8，即3p-k(3k-1)=8， 因为p，kN*，所以只有当p-k=0，k=2，即p=k=2时，数列{cn}的各项和为. 当p 12.已知数列{an}是公比大于1的等比数列，对任意的nN*，有an+1=a1+a2+…+an-1+an+. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足：bn=(log3 a1+log3 a2+…+log3 an+log3 t)(nN*)，若{bn}为等差数列，求实数t的值及数列{bn}的通项公式. 解析：(1)解法一：设{an}的公比为q， 则由题设，得 即 由-，得a1q2-a1q=-a1+a1q， 即2a1q2-7a1q+3a1=0. a1≠0， 2q2-7q+3=0， 解得q=(舍去)或q=3. 将q=3代入，得a1=1， an=3n-1. 解法二：设{an}的公比为q，则由已知，得 a1qn=+a1qn-1+， 即a1qn=qn-+， 比较系数得 解得(舍去)或 an=3n-1. (2)由(1)，得 bn=(log3 30+log3 31+…+log3 3n-1+log3 t) =[1+2+…+(n-1)+log3 t] = =+log3 t. {bn}为等差数列， bn+1-bn等于一个与n无关的常数， 而bn+1-bn=-+log3 t =-log3 t， log3 t=0， t=1，此时bn=. 13.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-n-1+2(nN*)，数列{bn}满足bn=2n·an. (1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式; (2)设cn=log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn<(nN*)的n的最大值. 解析：(1)证明：在Sn=-an-n-1+2中， 令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，得a1=. 当n≥2时，Sn-1=-an-1-n-2+2， an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1， 即2an=an-1+n-1. 2n·an=2n-1·an-1+1. bn=2n·an， bn=bn-1+1. 又b1=2a1=1， {bn}是以1为首项，1为公差的等差数列. 于是bn=1+(n-1)·1=n， an=. (2) cn=log2=log22n=n， ==-. Tn=++…+=1+--. 由Tn<，得1+--<，即+>，f(n)=+单调递减， f(3)=，f(4)=，f(5)=， n的最大值为4.
