一、选择题
1.已知等比数列{an}，且a4+a8=
dx，则a6(a2+2a6+a10)的值为( )
A.π2 B.4
C.π D.-9π
答案：A 命题立意：本题考查等比数列的性质及定积分的运算，正确地利用定积分的几何意义求解积分值是解答本题的关键，难度中等.
解题思路：由于dx表示圆x2+y2=4在第一象限内部分的面积，故dx=×π×22=π，即a4+a8=π，又由等比数列的性质，得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=π2，故选A.
2.(东北三校二次联考)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21=S4 000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2 011，a2 011)，则·=( )
A.2 011 B.-2 011
C.0 D.1
答案：A 命题立意：本题考查等差数列前n项和公式与性质及平面向量的坐标运算，难度中等.
解题思路：由已知S21=S4 000a22+a23+…+a4 000==3 979a2 011=0，故有a2 011=0，
因此·=2 011+ana2 011=2 011，故选A.
3.以双曲线-=1的离心率为首项，以函数f(x)=4x-2的零点为公比的等比数列的前n项的和Sn=( )
A.3×(2n-1) B.3-(2n-1)
C.- 3×(2n-1) D.-3+(2n-1)
答案：B 命题立意：本题考查双曲线的离心率及函数的零点与等比数列前n项和公式的应用，难度较小.
解题思路：由双曲线方程易得e==，函数零点为，故由公式可得Sn==3=3-，故选B.
4.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=15，S5=55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为( )
A.4 B.1
C.-4 D.-14
答案：A 命题立意：本题考查等差数列的性质、前n项和及直线斜率的坐标计算形式，难度较小.
解题思路：由题S5==55，故a1+a5=22，根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=22，故a3=11，因为a4=15，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为kPQ===4，故选A.
5.在等比数列{an}中，对于n∈N*都有an+1·a2n=3n，则a1·a2·…·a6=( )
A.±()11 B.()13
C.±35 D.36
答案：D 命题立意：本题考查数列的递推公式、等比数列的性质及整体代换思想，考查考生的运算能力，难度中等.
解题思路：由等比数列的性质可知，a1·a2·a3·a4·a5·a6=(a2·a6)·a4·(a1·a5)·a3=(a3)3(a4)3=(a3·a4)3，令n=2，得a3·a4=32，故选D.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，则下列结论正确的是( )
A.d<0，S2 013=2 013 B.d>0，S2 013=2 013
C.d<0，S2 013=-2 013 D.d>0，S2 013=-2 013
答案：C 命题立意：本题考查函数的性质——单调性与奇偶性、等差数列的性质与前n项和公式，难度中等.
解题思路：记f(x)=x3+2 013x，则函数f(x)是在R上的奇函数与增函数;依题意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1>f(0)=0，即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+1>0>a2 006+1即a8>a2 006，d=<0;a8+a2 006=-2，S2 013===-2 013，故选C.
二、填空题
7.在等差数列{an}中，a2=5，a1+a4=12，则an=________;设bn=(nN*)，则数列{bn}的前n项和Sn=________.
答案：2n+1 命题立意：本题考查等差数列的通项公式与裂项相消法，难度中等.
解题思路：设等差数列{an}的公差为d，则有a2+a3=5+a3=12，a3=7，d=a3-a2=2，an=a2+(n-2)d=2n+1，bn==，因此数列{bn}的前n项和Sn=×
==.
8.设Sn为数列{an}的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d=________.
答案：4 解题思路：由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn=，前2n项和为S2n=，所以==2+=2+，所以当d=4时，=4.
9.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f=f(x)，f(-2)=-3，数列{an}满足a1=-1，且Sn=2an+n(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a5)+f(a6)=______.
答案：3 解题思路：因为Sn=2an+n，则Sn-1=2an-1+n-1，
两式相减得an=2an-1-1，通过拼凑整理得an-1=2(an-1-1)，所以{an-1}是等比数列，则an-1=-2n，因此an=1-2n，所以a5=-31，a6=-63.
由f=f(x)且函数f(x)是奇函数，用-x代替x得到f=f(-x)=-f(x)，用+x代替x得到f(3+x)=f(x)，所以函数f(x)为周期为3，
则f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=f(2)+0=-f(-2)=3.
10.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成递减的等差数列.若A=2C，则的值为________.
答案： 命题立意：本题主要考查等差数列、正弦定理、余弦定理与三角函数基本公式.解题思路是依据题意得出a，b，c之间的关系，再结合正弦定理、余弦定理及A=2C，从而得出a，c之间的关系.
解题思路：依题意知b=，===2cos C=2×，即====，所以a2=c，即(2a-3c)(a-c)=0，又由a>c，因此有2a=3c，故=.
三、解答题
11.已知函数f(x)=x2+bx为偶函数，数列{an}满足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an>1.
(1)设bn=log2(an-1)，求证：数列{bn+1}为等比数列;
(2)设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.
命题立意：本题主要考查函数的性质，数列的通项公式和前n项和公式等知识.解题时，首先根据二次函数的奇偶性求出b值，确定数列通项的递推关系式，然后由等比数列的定义证明数列{bn+1}为等比数列，这样就求出数列{bn}的通项公式，进一步就会求出数列{cn}的通项公式，从而确定数列{cn}的前n项和Sn的计算方法.
解析：(1)证明： 函数f(x)=x2+bx为偶函数，
b=0， f(x)=x2，
an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，
an+1-1=2(an-1)2.
又a1=3，an>1，bn=log2(an-1)，
b1=log2(a1-1)=1，
====2，
数列{bn+1}是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，
cn=nbn=n2n-n.
设An=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，
则2An=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2，
An=(n-1)2n+1+2.
设Bn=1+2+3+4+…+n，则Bn=，
Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.
12.函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.
(1)求f的值;
(2)数列{an}满足：an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，求an;
(3)令bn=，Tn=b+b+…+b，Sn=8-，试比较Tn与Sn的大小.
解析：(1)令x=，
则有f+f=f+f=1.
f=.
(2)令x=，得f+f=1，
即f+f=1.
an=f(0)+f+f+…+f+f(1)，
an=f(1)+f+f+…+f+f(0).
两式相加，得
2an=[f(0)+f(1)]++…+[f(1)+f(0)]=n+1，
an=，nN*.
(3)bn==，
当n=1时，Tn=Sn;
当n≥2时，
Tn=b+b+…+b
=4
<4
=4
=4=8-=Sn.
综上，Tn≤Sn.
13.某产品在不做广告宣传且每千克获得a元的前提下，可卖出b千克.若做广告宣传，广告费为n(nN*)千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出千克.
(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量s;
(2)试写出销售量s与n的函数关系式;
(3)当a=50，b=200时，要使厂家获利最大，销售量s和广告费n分别应为多少?
解析：(1)当广告费为1千元时，销售量s=b+=.
当广告费为2千元时，销售量s=b++=.
(2)设Sn(nN)表示广告费为n千元时的销售量，
由题意得，s1-s0=，
s2-s1=，
……
sn-sn-1=.
以上n个等式相加得，
sn-s0=+++…+.
即s=sn=b++++…+.
==b.
(3)当a=50，b=200时，设获利为Tn，
则有Tn=sa-1 000n=10 000×-1 000n=1 000×，
设bn=20--n，
则bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.
当n≤2时，bn+1-bn>0;
当n≥3时，bn+1-bn<0.
所以当n=3时，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此时s=375，即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为375千克和3千元.
