题型一 抛物线的定义及其应用
例1 设P是抛物线y2=4x上的一动点，
(1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求PB+PF的最小值.
破题切入点 画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题.
解 (1)由于A(-1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则AP+PF≥AF==，从而知点P到A(-1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为.
(2)
如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q=P1F，那么PB+PF≥P1B+P1Q=BQ=4，即PB+PF的最小值为4.
题型二 抛物线的标准方程及性质
例2 (1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.
(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，水面宽________ m.
破题切入点 准确求出抛物线方程并结合其简单几何性质作答.
答案 (1)(2，+∞) (2)2
解析 (1)∵x2=8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y=-2.由抛物线的定义知FM=y0+2.
以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，
又圆心F到准线的距离为4，故42.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，
则A(2，-2)，将其坐标代入x2=-2py得p=1.
∴x2=-2y.
水位下降1 m，得D(x0，-3)(x0>0)，
将其坐标代入x2=-2y，得x=6，
∴x0=.∴水面宽CD=2 m.
题型三 直线和抛物线的位置关系
例3 已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程;
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于?若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由.
破题切入点 (1)将点代入易求方程.
(2)假设存在，根据条件求出，注意验证.
解 (1)将(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x，
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.
由直线OA到l的距离d=，
可得=，
解得t=±1.
又因为-1[-，+∞)，1∈[-，+∞)，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.
总结提高 (1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e=1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决.
(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y2=2px关于y轴、直线x+y=0与x-y=0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式;或者将抛物线y2=2px绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系.
(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2=-p2，x1x2=;
②若直线AB的倾斜角为θ，则AB=;
③若F为抛物线焦点，则有+=.
1.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，-2)到焦点的距离为4，则m的值为________.
答案 4或-4
解析 设标准方程为x2=-2py(p>0)，
由定义知P到准线的距离为4，故+2=4，所以p=4，
则方程为x2=-8y，代入P点坐标得m=±4.
2.若抛物线y2=8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有________个.
答案 1
解析 由题意得F(2,0)，l：x=-2，
线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-)，
即x+3y-7=0，设圆的圆心坐标为(a，b)，
则圆心在x+3y-7=0上，故a+3b-7=0，a=7-3b，
由题意得|a-(-2)|=，
即b2=8a=8(7-3b)，即b2+24b-56=0.
又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________.
答案 2±
解析 依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2).由抛物线定义及PF=QF，得+=+，∴y=y，∴y1=-y2.又PQ=2，因此|y1|=|y2|=1，点P(，y1).又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF=+=2，由此解得p=2±.
4.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.
答案
解析 由已知得焦点坐标为F(，0)，
因此直线AB的方程为y=(x-)，
即4x-4y-3=0.
方法一 联立抛物线方程化简得4y2-12y-9=0，
故|yA-yB|==6.
因此S△OAB=OF·|yA-yB|=××6=.
方法二 联立方程得x2-x+=0，
故xA+xB=.
根据抛物线的定义有AB=xA+xB+p=+
=12，
同时原点到直线AB的距离为h==，
因此S△OAB=AB·h=.
5.已知抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C：x2+y2+2x-8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d+PQ的最小值为________.
答案 3
